Аксиома пустого множества

[provincialka]

Просто "элемент" - это не постоянный атрибут объекта, а его отношение к множеству. То есть элемент является элементом не сам по себе, а только элементом какого-то множества.

В этой теории про любой объект можно сказать, что он - множество, но ни про какой: "это - элемент". Все равно как можно сказать "По улице идет женщина", но нельзя сказать "По улице идет мать". Потому что сразу возникнет вопрос: чья мать? Это понятие - относительное. Так и элемент - чего элемент?

[arseniiv]

Нет, вот, кстати, «по улице идёт мать» однозначно понимается носителями русского языка как «$\text{по улице идёт }a\wedge\exists x(a\text{ — мать }x)$». Если так же понимать предложение с элементом, оно будет верным (каждое множество — элемент какого-нибудь другого).

-- Чт окт 10, 2013 16:44:14 --

Хотя, в принципе, с переводом конструкций естественного языка не всё так просто. То есть, там ещё один, по крайней мере, есть.

[spyphy]

Xaositect в сообщении #773223 писал(а):

&\varnothing &\subset \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}\\

опечатка?

[provincialka]

spyphy в сообщении #773422 писал(а):

Xaositect в сообщении #773223 писал(а):

&\varnothing &\subset \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}\\

опечатка?

Нет. Пустое множество является подмножеством любого множества.

[Побережный Александр]

Xaositect в сообщении #773015 писал(а):

подмножество: $a \subset b \Leftrightarrow \forall x (x\in a\to x\in b)$

Из Википедии, пустое множество является своим подмножеством, не не является своим элементом.
Если следовать определению подмножества Xaositect, то
$\varnothing\subset\varnothing \Leftrightarrow \forall x(x \in \varnothing \to x \in \varnothing)$.
Такая запись возможна, если $x \in \varnothing$, другими словами $x$ - элемент пустого множества.
Но пустое множество не содержит элементов. У меня получается противоречие и пустое множество не может быть своим подмножеством.
Где я допустил ошибку в рассуждениях?

[Xaositect]

$x\in \varnothing$ всегда ложно, из лжи следует все что угодно. Значит $x\in\varnothing\to x\in\varnothing$ будет всегда истинно.

[Aritaborian]

Так всё верно же. Давайте словами: заменим икс на сиреневую лошадь.

[Someone]

Побережный Александр в сообщении #773674 писал(а):

Где я допустил ошибку в рассуждениях?

Вы просто не знаете математической логики. Высказывание в скобках — это импликация: $A\to B$. Здесь $A$ — посылка, $B$ — заключение. Таблица истинности импликации имеет следующий вид (И — истинно, Л — ложно):

\begin{tabular}{c|c|c} $A$&$B$&$A\to B$\\ \hline И&И&И\\ И&Л&Л\\ Л&И&И\\ Л&Л&И \end{tabular}

Если словами: из истинного утверждения следует только истинное, из ложного — что угодно.
Далее читайте то, что написал Xaositect.

[Побережный Александр]

Все понял. Спасибо!

[arseniiv]

(Можно и по-другому: $A\to A$ — всегда истина независимо от значения $A$.)