Элементы перестановочные с циклом

[monz]

Задача:
Найти все элементы группы $S_n$, перестановочные с циклом $(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$, где $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ - перестановка чисел $1,2,...,n.$

То, что искомые элементы - различные степени данного цикла- это понятно. Как доказать, что только такие элементы - решение?

[AV_77]

Этот цикл можно интерпретировать как отображение $f \colon x \mapsto x+1$ в кольце $\mathbb{Z}_n$. Разница только в обозначениях элементов будет. Тогда если подстановка $p \in S(\mathbb{Z}_n)$ перестановочна с $f$, то должно выполняться равенство $p(x+1) = p(x)+1$. А дальше уже понятно.

[monz]

А если только в рамках указанной группы и терминов перестановок? Без интерпретаций. Там что-то довольно тривиальное должно быть.

[AV_77]

Да то же самое, только не так наглядно. Пусть $q$ - цикл, $p$ - перестановочна с циклом и $p(\alpha_1) = \alpha_k$. Тогда $p(\alpha_2) = p(q(\alpha_1)) = q(p(\alpha_1)) = q(\alpha_k) = \alpha_{k+1}$ и т.д.

[monz]

Точно. Просто элемент проследить) Меня не в ту степь несло.
Спасибо!