Классификация замкнутых ориентируемых многообразий

[bayak]

Известна ли науке такая классификация?
Можно ли тут ограничиться склейкой произведений сфер, а если нет, то почему?
Под склейкой $n$-многообразий я понимаю процедуру вырезания в каждом из них по $n$-шару и последующей склейке этих многообразий совмещением одной дырки с другой.

[Munin]

Смотря в каком смысле классификация. В простейшем, как известно, все такие многообразия - суть сферы с $n$ ручек (в многомерном случае сложнее, но тоже исчерпывающе).

[bayak]

Munin в сообщении #771749 писал(а):

Смотря в каком смысле классификация.

Хотелось бы в том смысле, чтобы не пропустить ни одного замкнутого ориентируемого многообразия, рассматриваемого как топологическое пространство.

Munin в сообщении #771749 писал(а):

В простейшем, как известно, все такие многообразия - суть сферы с $n$ ручек (в многомерном случае сложнее, но тоже исчерпывающе).

В одномерном и двумерном случае действительно имеется исчерпывающая классификация, а про многомерный случай я такого не слышал. Можете сослаться на литературу?

Давайте для определённости и простоты остановимся на 3-многообразиях. Если всякое замкнутое ориентируемое многообразие это либо $S^3$, либо его можно склеить из счётного числа торов $S^1\times S^1\times S^1$ и произведений $S^2\times S^1$, то среди всех этих многообразий только у сферы $S^3$ фундаментальная группа тривиальна (т.е. только сфера односвязна). Следовательно в случае справедливости предположения об исчерпывающей классификации, классическая гипотеза Пуанкаре становится тривиальным фактом.

[Munin]

Вам в область, которая называется гомологическая топология (и, по вкусу, гомотопическая). Примеры книг: Борисович-Близняков-Израилевич-Фоменко, Фоменко-Фукс, Масси-Столлингс, Новиков С. П. "Топология", некоторое количество Прасолова, Скопенков, Виро-Иванов-Харламов-Нецветаев. Дубровин-Новиков-Фоменко, Мищенко-Фоменко (2 книги).

[bayak]

Munin, спасибо, конечно, за спиок литературы, но странно, что молчат математики нашего форума. Почему-то не верится, что никто из них не специализируется в области топологии.

[Munin]

Я думаю, вы пока формулировкой вопроса не продемонстрировали достаточной грамотности, чтобы вам ответить.

[bayak]

Ну, отмазку всегда можно найти (типа - "один дурак задаст такой вопрос, что сто мудрецов не ответят").

[Munin]

А может, просто за этот вечер никто не вышел на форум и не обратил внимания на тему. Подожду.

[Someone]

Для трёхмерных многообразий можно кое что сделать: http://mi.mathnet.ru/tm725.
Для многообразий большей размерности задача выглядит безнадёжной.

[bayak]

Someone, в обзоре рассматриваются различные способы представления трёхмерных многообразий (где затруднительно распознать даже многообразие гомеоморфное трёхмерной сфере), а вопрос у меня был о классификации с помошью единственного способа. Итак,- или вопрос повис, или я чего-то не понимаю.

[Munin]

Ага. Нет "единственного способа".

[bayak]

Munin, я понимаю, что нет "единственного способа", но вопрос в другом, а именно: всякое ли замкнутое ориентируемое многообразие можно представить этим "единственным способом".

[Munin]

У Хунты это получалось более осмысленно, чем у вас.

[Aritaborian]

(Munin)

:appl:

[g______d]

Мне даже как-то неудобно приводить такую тривиальную мысль, как посмотреть в википедию, http://en.wikipedia.org/wiki/Classifica ... _manifolds. Может быть, поэтому все столько времени и молчали.