Теория Вероятности

[boomeer]

Вы вошли на двор дома, в который ведут 3 двери ( в комнаты). В каждой комнате обнаруживаете еще 3 двери, которые ведут в новые комнаты и тд. Вы понимаете, что дом устроен ярусами. Двери со двора в комнаты первого яруса, из тех во второй и тд. Из последнего $n$ яруса двери ведут в сад. Побродив по дому вы возвращаетесь во двор и обнаруживаете, что некоторые двери затворились с вероятностью $1/3$ независимо от остальных.
Найти вероятность, что при больших $n$ вы сможете пройти сквозь дом в сад.

Ответ ($\approx0.95$) но как получить не понимаю...

[gris]

Это полное троичное дерево, у которого в узлах сидят единички и нули с соттветствующими вероятностями. Надо найти вероятность существования единичной ветви.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

теория вероятностИ?...

[Cash]

Какова вероятность перейти из какой-либо комнаты $k$-го яруса на $(k+1)$-й ($k = 0, 1, \ldots n-1$)?
Но вот это

boomeer в сообщении #772285 писал(а):

Ответ ($\approx0.95$)

не получится никак, если, конечно, в тексте задачи Вы ничего не пропустили. Откуда ответ взялся?

-- Вт окт 08, 2013 10:05:22 --

gris в сообщении #772308 писал(а):

Это полное троичное дерево, у которого в узлах сидят единички и нули с соттветствующими вероятностями. Надо найти вероятность существования единичной ветви.

В принципе, никто не запрещал из нескольких комнат текущего яруса вести в одну комнату следующего яруса. Например, на втором ярусе может быть всего три комнаты...

[gris]

Если я правильно понял, то ищется не вероятность выйти на свободу только при продвижении вперёд. Эта вероятность стремится к нулю. А вот если можно возвращаться, то достаточно существования хотя бы одного сквозного прохода. Кажется, что эта вероятность стремится к единице, но, скорее всего, там какой-нибудь второй зампредел и в ответе будет что-то с $e$.

Мне кажется, что возможность склеивания комнат делает задачу неопределённой. Допустим, что на каждом ярусе три комнаты и каждая соединена с каждой на соседних ярусах. Тогда вероятность прохода стремится к нулю.

[Cash]

gris, похоже Вы правы.
В таком случае имеем $3^n$ путей, вероятность прохождения по каждому - $(2/3)^n$.
Если бы вероятность прохождения была бы равна $(1/3)^n$, получили бы известную классическую задачу с ответом $1-e^{-1}$. А так - вроде бы к 1 стремится. Или я ошибаюсь?

-- Вт окт 08, 2013 11:44:54 --

Ну да, понял, где ошибся - события: прохождение по пути, конечно же, не независимы...

[gris]

А будут ли пути независимы, чтобы можно было применять умножение вероятностей? Надо посмотреть на укороченном примере.
Мы одинаково думаем
Но что-то ТС молчит. В принципе аналогичная ситуация, наверное, для двоичных деревьев. И ответ зависит от вероятности закрытия двери.

[boomeer]

Cash в сообщении #772333 писал(а):

Откуда ответ взялся?

Ответ идет вместе с задачей.
Пути независимы

[Cash]

Угу. ответ похоже правильный.
Вероятность застопориться еще во дворе - 1/27. Вероятность, что во дворе открыта ровно одна дверь в тупиковую комнату - $(1/9 \cdot 1/27) \cdot 3$. Аналогично, считаем - во дворе открыты 2 и 3 двери в тупиковые комнаты. Эти вероятности уже будут сильно меньше. То есть вероятность заглохнуть на 0-м и 1-м уровнях $1/27+1/81+... = 0.049... + ...$. Всё остальное дает весьма небольшой вклад. Нужно только аккуратно расписать.

[Cash]

Естественно посчитал с ошибками :))
Но мысль такая: на каждом ярусе считаем количество комнат до которых можно добраться.
0-й уровень - $x_0 = (0, 1, 0, \ldots)$
1-й уровень - $x_1= (\frac 1{27}, \frac 6{27}, \frac {12}{27}, \frac 8{27}, 0 , \ldots)$
соответственно $x_{20}= \frac 1{27} + \frac 6{27} \cdot \frac 1{27} + \frac {12}{27}\cdot \frac 1{27^2}+ \frac 8{27} \cdot \frac 1{27^3}$
и т.д.
Путь трудоемкий и некрасивый.
Подумаю над другими идеями...

[gris]

А что если использовать схему родителей-детей?
То есть рассмотрим три двери, каждая из которых может быть открыта с вероятностью $2/3$ и за каждой может быть проход с вероятностью $p$. Посчитаем вероятность прохода. И приравняем её к $p$. Одним из решений будет, конечно, ноль. А вдруг будет ненулевое решение?

[Cash]

Эта идея мне тоже приходила, но получил
$p = \frac 6{27}p + \frac {12}{27}p^2+\frac 8{27}p^3$
без корней внутри $(0, 1)$
Скорее я безбожно туплю в вычислениях и лучше отложить когда можно взяться за задачу не урывками, а основательно.

-- Вт окт 08, 2013 15:42:46 --

Ага, написал и сразу понял, где ошибка.
$p = \frac 6{27}p + \frac {12}{27}(1-(1-p)^2)+\frac 8{27}(1-(1-p)^3)$
С корнем $\frac {3}{4}(3-\sqrt3)=0.95...$

-- Вт окт 08, 2013 15:50:35 --

О чем gris, наверное знал с самого начала и только посмеивался над моими неуклюжими попытками

[gris]

Нет, не знал
И уж точно не подсмеивался.
Всех методов и способов не упомнишь, а мне всегда приятно догадаться о чём-то, пусть даже известном и совершенно очевидным другим.