Наименьшее значение числа делителей

[Ktina]

Какое наименьшее значение может принимать

$$\tau(n^{64}+64)$$

при $n\in\mathbb{Z}$?
($\tau$ это число делителей)

[Dave]

Ответ: 4.
При $n=1$: $\tau(65)=\tau(5 \cdot 13)=4$.
При других $n$: $n^{64}+64=ab$, где $a=(n^{16}-2)^2+4$, $b=(n^{16}+2)^2+4$. Поскольку $a \ne b$, $a>1$, $b>1$, то $n^{64}+64$ имеет минимум $4$ различных делителя: $1$, $a$, $b$ и $ab$.

[kknop]

Совершенно верно, только в формуле вместо $x$ должно стоять $n$.
Вообще, приведенное разложение - частный случай использования тождества
$a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$. При $a>b$ обе скобки больше 1 и не равны друг другу, поэтому дают два разных делителя.

[Dave]

Спасибо, исправил.