Потенциал для неупругово соударения шариков

[petya]

Доброго времени суток. У меня глупый вопрос.
Рассмотрим столкновения 2х шариков. Закон сохранения импульса всегда выполняется, а вот закон сохранения энергии нет.
Часть энергии может перейти в тепло.
Я хочу описать удар шариков с помощью потенциала, например для упругого соударения U(r)= 0 если r>d и $\frac{k(r-d)^2}{2}$ при r>a, где d- диаметр, r=r1-r2
Получается довольно разумное (может и не совсем правильное но верное при малых диформациях) описание соударения, будто шарик налетает на пружинку
Если потенциал зависит только от r, то энергия будет сохранятся
А теперь вопрос как описать потенциал для неупругого соударения?
Логично, что теперь потенциал должен как то зависить от относительной скорости частиц. Но, как? Я сообразить не могу.

[VladimirKalitvianski]

Вам нужно описать более количественно Ваши неупругие потери. Например, если деформация есть $\delta r$, то некоторая часть потенциальной энергии упругой деформации уходит в тепло, скажем, $\beta \cdot \delta r$. Она же из уравнения должна выражаться через "скоростной" силовой член (типа трения или что). Тогда часть исходной кинетической энергии пойдет на упругую, а другая часть на неупругую деформацию. Составляя баланс энергии, можно, наверное что-то написать про часть, зависящую от скорости.

Кроме того, потенциальная энергия, зависящая явно от времени, тоже не сохраняет энергию, но это, наверное, ошибочное направление.

[DimaM]

Можно ввести силу, зависящую от относительной скорости. Например, ${\bf F}=-g(r_{12})({\bf v}_1-{\bf v}_2)$.
Называть подобную конструкцию потенциалом, по-моему, неправомерно.

[nikvic]

Гистерезис?

[VladimirKalitvianski]

DimaM в сообщении #771528 писал(а):

Можно ввести силу, зависящую от относительной скорости. Например, ${\bf F}=-g(r_{12})({\bf v}_1-{\bf v}_2)$.

На самом деле, нужен модуль разности скоростей.

[DimaM]

VladimirKalitvianski в сообщении #771534 писал(а):

На самом деле, нужен модуль разности скоростей.

А как тогда направление силы определить?

[VladimirKalitvianski]

Если перейти к переменным центра инерции и относительному расстоянию $\mathbf{r}$, то в уравнении движения последнего неупругая сила должна быть всегда против скорости: $F_{inelastic}\propto -\dot{\mathbf{r}}$. Тогда она будет отнимать кинетическую энергию и при сближении, и при удалении шаров в области действия упругого потенциала.

[petya]

Извините, про потенциал конечно я зря написал.
Из теоремы Нётер следует, что энергия должна сохранятся (если потенциал не зависит от времени, а в этом случае это очевидно)
Вопрос как получить силу? Например $F=k\dot{r}$ или $F=k\dot{r}^2$ или $F=k(r-d)\dot{r}$
Например в такой моделе:
Допустим, что если тело имеет до соударения скорость $v$ , а после $k*v$, где $k<1$

[DimaM]

VladimirKalitvianski в сообщении #771544 писал(а):

Если перейти к переменным центра инерции и относительному расстоянию $\mathbf{r}$, то в уравнении движения последнего неупругая сила должна быть всегда против скорости: $F_{inelastic}\propto -\dot{\mathbf{r}}$.

Так $\dot{\mathbf{r}}={\bf v}_1-{bf v}_2$, как у меня и было написано.

petya в сообщении #771550 писал(а):

Вопрос как получить силу? Например $F=k\dot{r}$ или $F=k\dot{r}^2$ или $F=k(r-d)\dot{r}$

Очевидно, что кроме такой силы должна быть еще и потенциальная. Иначе тела отскакивать не будут.

По аналогии с затухающими колебаниями, если потенциальная сила $F_p=-m\omega^2{\bf r}$, а трение пропорционально скорости $F_f=-2m\gamma\dot{\mathbf{r}}$, то за одно столкновение скорость уменьшится в $\exp\left(\pi\gamma/\sqrt{\omega^2-\gamma^2}\right)$ раз. Правда, гармоническая сила может быть недостаточно быстро возрастающей - шары будут сильно "вминаться" при столкновениях.

[VladimirKalitvianski]

DimaM в сообщении #771591 писал(а):

Так $\dot{\mathbf{r}}={\bf v}_1-{\bf v}_2$, как у меня и было написано.

Но ведь не понятно было, в каком уравнении стояла Ваша сила. В уравнениях для $\bf{r}_1$ и $\bf{r}_2$ все сложнее.

[ser]

petya в сообщении #771519 писал(а):

Я хочу описать удар шариков с помощью потенциала

Нет такого описания явлений Природы с помощью потенциала. Существуют только вот эти пять (у Ньютона не аналитическое описание).

Нулевой – импульсный (пространство – время – масса – импульс) - Ньютон
Первый – силовой (пространство – время – масса – сила) - Эйлер
Второй – энергетический (пространство – время – масса – энергия) - Лагранж
Третий – кинематический (пространство – время – масса) - Герц
Четвертый – мощностной (пространство – время – масса – мощность) - Юдин

А описание удара с диссипацией энергии смотрите в моей программе Udar3. Думаю Вам будет полезно и ознакомиться с моей статьей "Две меры механической формы движения материи", где тоже рассматривается удар 2-х шаров.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.