Сопряженные числа

[STilda]

День добрый.
Подскажите, есть ли понятие сопряженного числа без привязки к какой-либо конкретной алгебре чисел (алгебре действительных, комплексных, гиперкомплексных, и т.д. чисел). Какая роль возлагается на сопряженное число (числа)?. Если я выдумываю свою алгебру, с определенными качественными единицами ("мнимыми" числами), то как ввести понятие сопряженного числа? Что это должно быть?
Есть вариант, что сопряженные числа нужны для выделения компонент числа. Либо, что сопряженное число при умножении должно переводить исходное в действительное число. Но это скорее всего не все варианты.

[ИСН]

То, умножив на которое, получим квадрат нормы.

[geomath]

А умножение у вас действительно есть? И чем оно отличается от сложения?

[STilda]

Цитата:

А умножение у вас действительно есть? И чем оно отличается от сложения?

У меня алгебра с несколькими операциями, отличаются они правилами взаимодействий качественных единиц.

Цитата:

То, умножив на которое, получим квадрат нормы.

Тогда возникает вопрос, что такое норма числа в некоторой алгебре... Иногда наоборот норму вводят через сопряженные числа, что первично не понятно...

Впорчем есть работа в которой в результате произведения числа на сопряженное (сопряженные) не всегда получается действительное число... но называется сопряжением. потому и возник вопрос.

[Егор]

Думаю так. Отображение $f$ уместно называть сопряжением, если $f$ обладает следующими свойствами:
$f\circ f$ есть тождественное отображение (кстати, как это свойство называется?);
$f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$;
$f$ отлично от тождественного отображения.

[STilda]

Цитата:

Думаю так. Отображение уместно называть сопряжением, если обладает следующими свойствами: ....

тогда возникает вопрос про его существование в любой алгебре... Кроме того первое свойство ( похожее на закон отрицания отрицания ) скорее всего не даст ввести понятия трех взаимно сопряженных чисел, что хотелось бы както сделать[/math]

[geomath]

А у вас есть хоть какая-то содержательная интерпретация элементов алгебры. Она может помочь ввести сопряжение. Зачем вам тройки взаимно сопряженных элементов? Какая у этого содержательная интерпретация?

[Егор]

Рассмотрим расширение поля рациональных чисел корнями какого-то многочлена третьей степени, неприводимого над полем рациональных чисел. Любопытно, как в такой ситуации определяют сопряжение. Сужают комплексное сопряжение? Или как-то вводят понятие трёх взаимно сопряжённых элементов?

[STilda]

Цитата:

А у вас есть хоть какая-то содержательная интерпретация элементов алгебры. Она может помочь ввести сопряжение. Зачем вам тройки взаимно сопряженных элементов? Какая у этого содержательная интерпретация?

это как раз поле моих исследований, и поиски идут с обеих сторон, со стороны абстракции в физическую интерпретацию, и наоборот. тройки встречаются в природе (синий зеленый красный, кварки в физике...) и я думаю им нужен адекватный мат аппарат. Возможно она должна помочь, но что искать? в чем смысл сопряжения? )

Добавлено спустя 5 минут 35 секунд:

в чем смысл взаимо сопряженных чисел и взаимо обратных чисел?

[AD]

Егор писал(а):

Думаю так. Отображение $f$ уместно называть сопряжением, если $f$ обладает следующими свойствами:
$f\circ f$ есть тождественное отображение (кстати, как это свойство называется?);
$f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$;
$f$ отлично от тождественного отображения.

То есть одновременно гомоморфизм и инволюция?

[Егор]

AD писал(а):

То есть одновременно гомоморфизм и инволюция?

Спасибо, что напомнили слово!
Да. Обычное сопряжение (в квадратичном расширении поля) является нетождественной инволюцией и одновременно гомоморфизмом (а значит, и автоморфизмом). Короче говоря, обычное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом-инволюцией. Мне показалось, что естественно называть сопряжением любое отображение, обладающее этими свойствами. Впрочем, ИСН привёл другое естественное определение.

Хотелось бы узнать от алгебраистов, как на самом деле определяется сопряжение в случае кубических расширений поля.

[geomath]

STilda писал(а):

в чем смысл взаимо сопряженных чисел и взаимо обратных чисел?

Мне кажется, что здесь идея полярности: далекое - близкое, лицо - изнанка или что-то типа этого.

Вот у меня еще вопрос. Допустим, на ваших элементах задан оператор, например сопряжение. Как бы вы определили сопряженный к нему оператор? И должно ли само сопряжение быть самосопряженным?

[STilda]

Цитата:

Вот у меня еще вопрос. Допустим, на ваших элементах задан оператор, например сопряжение. Как бы вы определили сопряженный к нему оператор? И должно ли само сопряжение быть самосопряженным?

спасибо... пробовал и отсюда подойти... пока не знаю...

[geomath]

STilda писал(а):

тройки встречаются в природе (синий зеленый красный, кварки в физике...) и я думаю им нужен адекватный мат аппарат.

Если вы не хотите рассекречивать свои элементы или они слишком сложны для понимания, то можно рассмотреть и цвета (синий, зеленый, красный...). Поскольку у вас алгебра, то имеются сложение, умножение и умножение на числа. Что в данном случае эти операции означают?

[STilda]

я имею ввиду алгебру чисел (поле). никаких нет секретов. Например у меня три качественных единицы А, Б, С. По умножению они взаимодействую по правилам: А*А=Б, Б*Б=А, А*Б=С, А*С=А, Б*С=Б, С*С=С. (тоесть С выполняет роль единицы). По сложению: А+Б+С=0. А также 0*А=0*Б=0*С=0. Обычное правило дистрибутивности. Числом в таком поле будет, например, 3А+2Б, или 1А+5С, или просто С. ( качество С, как единичное, будем опускать при записи. Потому 3 значит 3С). Что значит сопряжение в такой алгебре чисел? В источнике из которой взята эта система пишется, что сопряжение будет тройным и принимает вид: (а+б)*(а+Аб)*(а+Бб)=а*а*а+б*б*б. Здесь а, б, с - неотрицательные числа.
( Пример взят из теории многополярности Ленского В.В, которая включает принципы построения всевозможных алгебр чисел )