Аналитич. геометрия.

[freedom_of_heart]

Есть 3 задачи, в последних двух -- хотелось бы до конца понять условие, а в первой выяснить -- верно ли решено. Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Написать канонич. уравнение гиперболы, если $2c=8$ и расстояние между директрисами $=6$.

Получается так $2c=2ae=8\Rightarrow c=ae=4$

Решая систему уравнений из $\dfrac{a}{e}=3$ и $ae=4$ получаем $a=2\sqrt{3}$

$c^2=a^2+b^2 \Rightarrow 4^2=12+b^2 \Rightarrow b=2$

$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4}=1$

Верно?

2) Написать канонич уравнение гиперболы, если $y=\pm 0,5 a\cdot c\cdot x;\;\;\;M=(8;2\sqrt{3})$

Это асимптоты выписаны? А что за точка $M$?

3) Найти геометрическое место точек $\{M\}$:

$\dfrac{|MF|}{d(M,l)}=2\;\;\;\;\;\;\;\;l:x=1$

Я понимаю, что $|MF|$ -- расстояние между точками $M$ и $F$.

$d(M,l)$ -- расстояние от точки $M$ до прямой $l$.

С чего тут начать?

[iifat]

3) Начать с выражения расстояний через координаты $x,y$ неизвестной точки, лежащей на кривой.
Ваш Капитан Очевидность.

[freedom_of_heart]

iifat в сообщении #770930 писал(а):

3) Начать с выражения расстояний через координаты $x,y$ неизвестной точки, лежащей на кривой.
Ваш Капитан Очевидность.

Спасибо. Пусть $M(x,y)\;\;\;F(x_0,y_0)$

$|MF|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

$d(M,l)=|x-1|$

$\dfrac{|MF|}{d(M,l)}=\dfrac{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}{|x-1|} =2

${(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=4(x-1)^2$

$(x-x_0)^2-(2x-2)^2+(y-y_0)^2=0$

$(x-x_0-2x+2)(x-x_0+2x-2)+(y-y_0)^2=0$

$(3x-x_0-2)(-x-x_0+2)++(y-y_0)^2=0$

Раскрывая скобки, приводя подобные, получим:

$-3x^2-2x_0x+8x+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

Верно? А как дальше?

[iifat]

Ну, можно погуглить "Канонический вид кривой второго порядка", например. Нагуглите вот это, и много чего ещё полезного.

[freedom_of_heart]

iifat в сообщении #770958 писал(а):

Ну, можно погуглить "Канонический вид кривой второго порядка", например. Нагуглите вот это, и много чего ещё полезного.

Спасибо. А разве вид кривой второго порядка не будет зависеть от того -- что за точка $(x_0;y_0)$?

[iifat]

Что вы имеете в виду под видом? Конкретная кривая, разумеется, будет. Обобщённый вид — ну, я бы сказал, гипербола с фокусами на горизонтали либо на вертикали в зависимости от точки, либо пара прямых, поскольку $x^2$ и $y^2$ в уравнении с разными по знаку и ненулевыми коэффициентами, а $xy$ отсутствует. Это зависимость вида? Конкретнее можно сказать, если привести к каноническому виду.

[freedom_of_heart]

$-3x^2-2x_0x+8x+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-(3x^2+2(x_0-4)x)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-(3x^2+2(x_0-4)x+(x_0-4)^2-(x_0-4)^2)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-\left(3x^2+2\sqrt{3}x\cdot \frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}+\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$-\left(\sqrt{3}x- \frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)+x_0^2-4+(y-y_0)^2=0$

$(y-y_0)^2-\left(\sqrt{3}x- \frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2=4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$

$(y-y_0)^2-\dfrac{\left(3x- (x_0-4)\right)^2}{3}=4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$

$(y-y_0)^2-\dfrac{\left(x- \frac{(x_0-4)}{3}\right)^2}{\frac{1}{3}}=4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$

$\dfrac{(y-y_0)^2}{4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}-\dfrac{\left(x- \frac{(x_0-4)}{3}\right)^2}{\frac{1}{3}\left(4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)\right)}=1$

[iifat]

Замечательно. Теперь ещё вспомнить, что $4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$ может оказаться нулём — и, в общем-то, всё.

[freedom_of_heart]

iifat в сообщении #770995 писал(а):

Замечательно. Теперь ещё вспомнить, что $4-x_0^2-\left(\frac{(x_0-4)}{\sqrt{3}}\right)^2\right)$ может оказаться нулём — и, в общем-то, всё.

Спасибо, а если эта штука равна нулю, тогда получатся 2 прямые вот такие?

$y=y_0\pm\left(\sqrt{3}x- \frac{x_0-4}{\sqrt{3}}\right)$

[iifat]

Натурально. Ну, может, стоило б найти эти $x_0$ и подставить.

-- 06.10.2013, 03:17 --

Кстати говоря, а эта штука действительно обращается в нуль где-нить?

[freedom_of_heart]

iifat в сообщении #771033 писал(а):

Натурально. Ну, может, стоило б найти эти $x_0$ и подставить.

-- 06.10.2013, 03:17 --

Кстати говоря, а эта штука действительно обращается в нуль где-нить?

Спасибо! При $x=1$ =)

-- Сб окт 05, 2013 21:05:01 --

А про первые 2 задачи можете чего-нибудь сказать, пожалуйста!

[iifat]

1) У вас в конце эллипс, а не гипербола. Сразу и не заметил. В остальном — похоже на правду, хотя формулы наизусть не помню, а по справочникам лезть или выводить — простите, лень.
2) Похоже, асимптоты, ничего другого предположить не могу. M, видимо, одна из точек, лежащих на гиперболе — асимптот недостаточно.

[freedom_of_heart]

iifat в сообщении #771252 писал(а):

1) У вас в конце эллипс, а не гипербола. Сразу и не заметил. В остальном — похоже на правду, хотя формулы наизусть не помню, а по справочникам лезть или выводить — простите, лень.
2) Похоже, асимптоты, ничего другого предположить не могу. M, видимо, одна из точек, лежащих на гиперболе — асимптот недостаточно.

Спасибо!

Про 2)

Уравнения асимптот $y=\pm 0,5 a\cdot c\cdot x$

А в общем случае есть такое уравнение асимптот гиперболы $\dfrac{y}{b}=\pm \dfrac{x}{a}$

или, домножив на $b$, получим $y=\pm \dfrac{bx}{a}$.

Тогда, имеем $0,5 a\cdot c\cdot x=\dfrac{bx}{a}$ или $ a^2\cdot c=2b$

Это одно соотношение на $a,b,c$

Есть еще одно $c^2=a^2+b^2$

И третье получим через точку $M$

$\dfrac{64}{a^2}-\dfrac{12}{b^2}=1$

Решив систему из трех уравнений -- получим $a,b,c$, верно?

$\left\{\begin{matrix} a^2\cdot c=2b\\ c^2=a^2+b^2\\ \frac{64}{a^2}-\frac{12}{b^2}=1\\ \end{matrix}\right.$

Только там у меня получается жуткое уравнение методом исключения:

$(b^2+12)^3=1024b^4(b^2+76)$

Которое не представляю -- как решать аналитически, а вольфрамальфа выдает $b=0,38948$

Реально ли его решить аналитически? Верно ли была составлена система?