Неравенство для вероятности объединения случайных событий

[jhilary]

Здравствуйте!
Целый день бьюсь над упражнением, и все никак не получается.
Мне кажется, должен быть какой-то простой подход.
Нужно доказать неравенство:
$P( \bigcup_{i=1}^nA_i)\geq \cfrac{(\sum_{i=1}^n\alpha_iP(A_i))^2}{\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jP(A_i\bigcap A_j)} $, где $\alpha_i \in \Re$

Пробовала по-всякому.
Пыталась доказать по индукции, но дальше доказательства базы индукции продвинуться не удалось, все время мешает знаменатель.
Пыталась расписать по формуле включений исключений левую часть и как-то выкрутить правую, отбрасывая лишнее, - тоже никак.
Пыталась доказать для независимых $A_i$, а потом постепенно включать в рассмотрение зависимость - тоже ступор.
Пыталась как-то представить числитель в виде квадрата матожидания линейной комбинации индикаторов, а знаменатель, как соответствующую ковариацию, но опять мешает возможная зависимость$A_i$, и не понятно что делать с левой частью неравенства.
Пыталась абстрагироваться от вероятностей, и рассматривать как скалярное произведение верхнюю часть, и выкрутить как произведение векторов нижнюю - тоже глухо.
Пыталась сделать новые независимые случайные события из зависимых событий $A_i$ в виде $B_i=A_i \backslash A_{i+1}$ и что-то с этим сделать - не получилось.

Мне кажется, что должно быть какое-то простое решение, эксплуатирующее формулу включений-исключений, но голова ломается, откуда берется деление и как учесть все возможные $\alpha$.
Спасибо, если направите в нужную сторону!

[Otta]

jhilary в сообщении #770799 писал(а):

представить числитель в виде квадрата матожидания линейной комбинации индикаторов

Ну да. Наподобие этого.
Рассмотрим ступенчатую случайную величину на объединении, $\xi(\omega)=\alpha_k, \omega\in A_k$. Сверху - квадрат интеграла Лебега по всему объединению от этой величины, внизу - интеграл Лебега от ее квадрата. И плюс неравенство Гельдера.
Но это проходит только для несовместных $A_j$.
Надо для совместных додумать.

PS Полное ли условие? Для независимых событий ($\ne$ несовместных, Вы путаете термины), вероятность суммы которых не единица, утверждение неверно.

[Null]

Если $\xi_k(\omega)=\alpha_k, \omega\in A_k$ и $\xi_k(\omega)=0, \omega\notin A_k$, а $\xi(\omega)=1, \omega\in \bigcup_{i=1}^nA_i$ и $\xi(\omega)=0, \omega\notin \bigcup_{i=1}^nA_i$.

$M(\xi)\geq \cfrac{(M(\sum_{i=1}^n\xi_i))^2}{M((\sum_{i=1}^n\xi_i)^2)} $,

[Otta]

Что-то меня заело.
Null, я понимаю, что Вы сделали, и это хорошо. Но факт, что в исходном неравенстве при условии независимости справа всегда 1, в отличие от левой части, никуда не делся. Диссонанс.

А нет, прошу прощения, я неправа. Не всегда 1.

[ewert]

Otta в сообщении #770856 писал(а):

, вероятность суммы которых не единица,

Достаточно считать, что вероятность суммы единица.

[Otta]

ewert в сообщении #770870 писал(а):

Достаточно считать, что вероятность суммы единица.

Да дело даже не в этом. Можно считать, можно не считать. Мое заблуждение возникло от обмана зрения: увидела вероятность произведения, а что в произведении события могут и совпасть, зрение успешно проигнорировало. :)

[jhilary]

Спасибо за ответы!
Да, условие полное, никаких ограничений на независимость нет.
Null, у меня получалось справо так же, а слева думала, что надо как-то через эти же самые $\xi_k$ представлять. И на этом был ступор. А сейчас смотрю, что это не обязательно. И можно применить неравенство Гельдера, как предложила Otta.
Только для этого надо будет слева взять не $\xi$, а $\xi^2$
И тогда получается:
$ \sqrt{M(\xi^2)} \sqrt{M((\sum_{i=1}^n\xi_i)^2)}\geq \left|M(\sum_{i=1}^n\xi_i)\right| $

[Otta]

jhilary в сообщении #770949 писал(а):

Только для этого надо будет слева взять не $\xi$, а $\xi^2$

Формально - да. Но они равны.