От конгруэнтных чисел к неполному рациональному кубоиду

[Коровьев]

Здесь я хочу показать, как эти непонятные конгруэнтные числа позволяют найти рациональный кубоид с одной нерациональной боковой диагональю.
Если в эллиптической кривой
$y^2 = x\left( {x^2 - s^2 } \right)$
$s$ конгруэнтное число, то данная кривая имеет бесконечное множество рациональных точек.
Пусть $m,n$ рациональная точка кривой
$n^2 = m\left[ {m^2 - \left( {k^3 - k} \right)^2 }\right]$
Число $k^3 - k$ при рациональных $k$ всегда конгруэнтно.
Преобразуем.
$ m = t\left( {k^3 - k} \right)$
$n^2 = t\left( {k^3 - k} \right)\left[ {t^2 \left( {k^3 - k} \right)^2 - \left( {k^3 - k} \right)^2 } \right] = \left( {k^3 - k} \right)^2 \left( {k^3 - k} \right)\left( {t^3 - t} \right)$
Отсюда следует, что $\left( {k^3 - k} \right)\left( {t^3 - t} \right)$ есть квадрат рационального числа.
Вместе с тем и
$$ \frac{{4kt}}{{\left( {k^2 - 1} \right)\left( {t^2 - 1} \right)}},\frac{{k\left( {t^2 - 1} \right)}}{{t\left( {k^2 - 1} \right)}}$
также являются квадратами рациональных чисел. Обозначим:
$$x^2 = \frac{{4kt}}{{\left( {k^2 - 1} \right)\left( {t^2 - 1} \right)}}$

$$y^2 = \frac{{k\left( {t^2 - 1} \right)}}{{t\left( {k^2 - 1} \right)}}$
Перейдём к кубоиду. Обозначим стороны:
$$a=2y$

$$b = y\left| {x - \frac{1}{x}} \right|$

$$c = \left| {y^2 - 1} \right|$
Тогда диагонали будут равны:
$$d_{ab}^{^2 } = a^2 + b^2 = y^2 \left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2$
$$d_{ac}^{^2 } = a^2 + c^2 = \left( {y^2 + 1} \right)^2$
$$d_{abc}^{^2 } = a^2 + b^2 + c^2 = \frac{{\left( {t^2 + 1} \right)^2 \left( {k^2 + 1} \right)^2 }}{{4t^2 \left( {k^2 - 1} \right)^2 }}$
Т.о. зная рациональную точку кривой мы нашли рациональный кубоид с нерациональной боковой диагональю $(d_{bc} )$.
Далее. Данная кривая имеет рациональную точку при
$$m = \left( {\frac{{k^2 + 1}}{2}} \right)^2$
Тогда
$$t = \frac{m}{{k^3 - k}} = \frac{{\left( {k^2 + 1} \right)^2 }}{{4k\left( {k^2 - 1} \right)}}$
и
$$x = \left| {\frac{{4k\left( {k^2 + 1} \right)}}{{k^4 - 6k^2 + 1}}} \right|$

$$y = \left| {\frac{{k^4 - 6k^2 + 1}}{{2\left( {k^4 - 1} \right)}}} \right|$
То есть, получилось целое семейство таких кубоидов.
Пример.
$$k = 2,t = \frac{{25}}{{24}},x = \frac{{40}}{7},y = \frac{7}{{30}}$

$$a = \frac{7}{{15}},b = \frac{{517}}{{400}},c = \frac{{851}}{{900}}$

Перейдём к целым числам, освободившись от знаменателя

$${a = 1680,b = 4653,c = 3404}$

$$d_{ab} = 4947,d_{ac} = 3796,d_{abc} = 6005$

Интересно всё-таки получается. Каждая рациональная точка кривой порождает бесконечную серию неполных кубоидов, а различных рациональных точек на этой кривой тоже бесконечно и нет ни одного полного кубоида.

[scwec]

Коровьев, по-моему, очень интересный подход.
Я приведу еще один пример целого кубоида, у которого одна диагональ не рациональна, а остальные
целые. В ваших обозначениях: $a=104,b=153,c=672,d_{ab}=185,d_{ac}=680,d_{abc}=697$.
Этот кубоид также является представителем бесконечной серии, получаемой из эллиптических кривых другим способом. Посмотрите, получается ли он из Ваших рассмотрений.
Да, насчет полного кубоида. Это неимоверная удача была бы, появись он в серии.

[Руст]

Известно, что кубоидов у которых все стороны и диагонали за исключением может быть одной бесконечно много (даже без умножения на множитель).
Еще Эйлер это доказал, указывая конкретный несократимый (на множитель) кубоид (без целости главной диагонали) и построив по нему другой несократимый кубоид побольше, соответствующей удвоению рациональной точки на эллиптической кривой.
Я тоже немного занимался этим, сейчас не сохранились файлы. Свел задачу к бесконечности рациональных точек на пространственной кривой эллиптического типа.
Проекции этой кривой на плоскости $(x,y),(y,z),(z,x)$ представляют эллиптические кривые с положительным рангом. Сложение на пространственной кривой определяется через сложение на проекциях. Соответственно рациональные точки представляют группу, являющейся пересечением групп рациональных точек на проекциях.
Точки конечного порядка соответствуют вырожденным случаям (хотя бы с одной нулевой стороной) и не интересны. Я не разобрался, как доказать отсутствие нетривиального пересечения.

На самом деле к такого рода пространственной кривой эллиптического типа (каждая задача к своей кривой) сводятся многие задачи теории чисел. Например задача о второй разнице (с чего я начал), задача об расположении квадратов чисел в квадрате $3x3$ так, чтобы суммы по сторонам, по столбцам давали одно и то же число (задача рассматриваемая здесь на многих страницах) и т.д.

[scwec]

Несколько замечаний по тексту исходного сообщения.

Коровьев в сообщении #696829 писал(а):

Каждая рациональная точка кривой порождает бесконечную серию неполных кубоидов

Это, конечно, не так. Одна рациональная точка исходной кривой даёт не более одного кубоида. При фиксированном $k$ второму из одной точки взяться неоткуда.
Рациональные точки с $m=(k^2-1)k^2,m=1-k^2,m=k(k^2+1),m=-k(k-1)^2$ дают вырожденные кубоиды (одна из сторон с нулевой длиной). И это точки бесконечного порядка (так что свалить вырожденность на конечный порядок здесь не получается). Надо разбираться, какие точки дают, а какие не дают. Дежурная рациональная точка с $m=(\frac {k^2+1}{2})^2$, использованная автором, дала верный результат. Точно такой же результат дает и другая рациональная точка на левом овале с $m=-\frac{4k^2(k^2-1)^2}{(k^2+1)^2}$. Мне кажется, автору надо разобраться, какие кубоиды могут получаться при смене точки на фиксированной кривой. (Если, конечно, охота).
Бесконечная серия кубоидов, конечно, есть, но за счет бесконечной серии эллиптических кривых при смене $k$.
Но общее впечатление вполне приличное. (Да, надо было бы написать, что $k>1$)

[Коровьев]

Сразу не ответил, не по своей вине, комп до того старый, что хоть выбрасывай. Но я к нему привык.
Я забыл упомянуть, что рациональные точки кривой параметрические.
Тут можно рассуждать так. На эллиптической кривой
$$n^2 = m^3 - m\left( {k^3 - k}\right)^2 $
есть параметрическая рациональная точка
$$m_0 \left( k \right) = \left( {\frac{{k^2 + 1}}{2}} \right),n_0 \left( k \right) = \frac{{k^2 + 1}}{2}\cdot\frac{{\left( {k^2 - 1} \right)^2 - 4k^2 }}{4}$
По формуле удвоения можно найти следующую параметрическую точку
$$n_{t + 1} \left( k \right) = \left( {\frac{{3m_t \left( k \right) + \left( {k^3 - k} \right)^2 }}{{2n_t \left( k \right)}}} \right)^2 - 2m_t \left( k \right)$
И т.д. Все параметрические точки бесконечного порядка, в противном случае нашлись бы просто нетривиальные точки конечного порядка, что невозможно для таких эллиптических кривых.
Вот и получается, что серий бесконечно много. Наверно, без пересечений решений это вряд ли возможно.

[boris-nn]

вот ссылка на решение задачи о рациональном кубоиде arXiv:1305.3380.Задача решена для частного случая,но можно и обобщить.Главное,есть метод для описания всех Эйлеровых кирпичей,если таковыми называть все прямоугольные параллелепипеды с одним нецелым элементом(ребро или диагональ).

[Коровьев]

boris-nn, Вы можете зайдя в раздел Дискуссионные темы (М) открыть свою тему, но не через ссылку, а изложив кратко полученный результат. По ссылкам никто обсуждать здесь не будет.