Доказательство отсутствия равномерной сходимости

[N@stY]

Всем добрый вечер.
Меня интересуют способы доказательства отсутствия равномерной сходимости функциональных рядов. Как правило, в этом случае известна сама предельная функция (сумма), например, в случае геометрической прогрессии. Тогда можно уже искать супремум модуля разности n-й частичной суммы с ней и так далее, или указать на противоречие с непрерывностью частичных сумм и разрывностью предельной функции. Проблема в том, что я столкнулась с рядом, в котором сумму вряд ли получится найти, а именно, $\frac{\cos{nx}}{10n+\cos{nx}}$ в правой окрестности нуля. Что делать в таком случае?

[provincialka]

Есть равномерный критерий Коши.

[N@stY]

Если оценивать по нему разность между частичными суммами такого ряда, то все сразу скатывается к гармоническому ряду. Если бы он абсолютно сходился, можно бы было и признак Вейерштрасса применить сразу, а из-за условной сходимости простые оценки модулей косинусов не дадут нужного результата.

[provincialka]

Может, как-то так: при больших $n$ подобрать $x$ настолько малым, что косинусы положительны и отделены от 0 на достаточно большом промежутке?

[N@stY]

Да, можно так сделать, но рассуждения получаются громоздкими и сложно проводить проверку логической правильности уже. Ведь конкретные значения x тут проблематично подобрать, а если сказать, что "Очевидно, существует такое x, что...", то возникает противное чувство, что подобным рассуждением можно доказать и то, чего на самом деле нет. Я сомневаюсь, что тут нужно так делать (хотя, скорее всего, при большом желании можно), это все-таки не олимпиадная задача, а вполне так семинарская.

[Otta]

N@stY, при аккуратном выборе нужных значений рассуждения громоздкими не получаются. У меня они заняли листочек 80*80 мм. Что ряд условно сходящийся - не имеет значения в данном случае, поскольку Вы все равно изучаете его не в фиксированной точке. Как Вас учили показывать неравномерную сходимость ряда $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos{nx}}{n}$ на множестве $(0,1)$? С помощью критерия Коши, естественно. Ваша задача лишь ненамного труднее. Не сомневайтесь.

Другой способ, конечно, есть, нежели просто в лоб, но в итоге критерием Коши дело и закончится.

[ewert]

Выкиньте косинус из знаменателя и прикиньте: 1) будет ли сходиться равномерно ряд, оставшийся после выкидывания?... 2) будет ли сходиться равномерно разность между ним и исходным рядом?...

[Otta]

ewert в сообщении #770848 писал(а):

Выкиньте косинус из знаменателя и прикиньте: 1) будет ли сходиться равномерно ряд, оставшийся после выкидывания?... 2) будет ли сходиться равномерно разность между ним и исходным рядом?...

Ну вот он, "другой способ". ))

[SpBTimes]

Наверное, так нагляднее:
$\frac{\cos(nx)}{10n + \cos(nx)} = \frac{\cos(nx)}{10n} \cdot (1 + \frac{\cos(nx)}{10n})^{-1} = $
$\frac{\cos(nx)}{10n} - (\frac{\cos(nx)}{10n})^{2} + o((\frac{\cos(nx)}{10n})^{2})$
Кусок $(\frac{\cos(nx)}{10n})^{2} + o((\frac{\cos(nx)}{10n})^{2})$ сходится равномерно, так что все завязано на $\frac{\cos(nx)}{10n}$. Ну а дальше уж...