Помогите понять суть уравнений Максвелла

[Fantast2154]

Прочитал не все посты, просто напишу тут свои размышления, может быть помогут ТС.

Уравнения Максвелла описывают электромагнитные поля, изучаемые электродинамикой, квантовой механикой и т.д.

В частном случае (электростатика), т.е. когда все заряды статичны:

Уравнения Максвелла имеют вид:

$\operatorname{div}(E) = 4\pi\rho$
и
$\operatorname{rot}(E) = 0$

давайте разберемся что есть что.

Дивергенция векторного поля по определению - поток этого поля через бесконечно малую поверхность. Первое уравнение Максвелла получается из теоремы Гаусса.

Думаю у вас прибавится понимания, если вы освоите вывод этих уравнений.

Теорема Гаусса.

Что такое поток? Мы берем некоторую площадку S с внешней нормалью n, помещаем ее в векторное поле. Поток векторного поля через площадку S будет равен:

$dN = (\vec{E}\cdot \vec{n})dS$

Если у нас имеется некоторая конечная поверхность S, то поток через эту поверхность

$N = $$\int\limits_{S}E_ndS$

В электродинамике имеет место очень важная теорема: "Поток вектора$\vec{E}$ через замкнутую поверхность определяется суммарным зарядом Q, находящимся внутри этой поверхности и ровняется $4\pi Q$, т.е.

$ $$\oint\limits_{S}E_ndS = 4\pi Q$

Вывод полностью расписывать не буду, скажу лишь, что $4\pi$ появляется из полного телесного угла в сферических координатах.

Итак, мы знаем что, если задача обладает достаточной симметрией, мы можем окружить нашу область с зарядами некоторой поверхностью и поле вне этой поверхности будет полностью определяться полным суммарным зарядом, находящимся внутри.

По теореме Остроградского - Гаусса интеграл по замкнутой поверхности может быть заменен на интеграл по объему, который ограничивает эта поверхность.

$ $$\oint\limits_{S}E_ndS = $$\int\limits_{V}\operatorname{div}\vec{E}dV = 4\pi $$\int\limits_{V}\rho DV$

Так как все выше сказанное справедливо для любой области интегрирования, то

$\operatorname{div}(E) = 4\pi\rho$

-- 04.10.2013, 15:49 --

$\operatorname{rot}\vec{E}=0$

Получается из следующих рассуждений. Сила, действующая на заряд

$\vec{F}=q\vec{E}$

Тогда работа по перемещению заряда выражается через циркуляцию электрического поля по замкнутому контуру.

$ A = q$$\oint A_ldl$ = q\oint (\vec{E}\cdot d\vec{l})

Тогда можно записать это свойство в виде:

$A = q$$\oint A_ldl = 0$

Если бы работа по перемещению заряда по замкнутому контуру была бы не равна 0, мы имели бы вечный двигатель 1-го рода.

Отсюда следует вывод о потенциальности электростатического поля.
А формально следуют 2 уравнения:

$\vec{E}=-\operatorname{grad}\varphi$

$\operatorname{rot}\vec{E}=0$

[Munin]

Fantast2154 в сообщении #770508 писал(а):

Прочитал не все посты, просто напишу тут свои размышления, может быть помогут ТС.

Вы просто мало знакомы с ТС. Если бы вы провели с ним несколько тем, у вас было бы меньше надежд.