Доказать неравенство

[Ktina]

$x_1, x_2, \dots, x_n$ -- вещественные числа, большие 1, при этом $|x_i-x_{i+1}|<1$ для всех натуральных $i<n$.

Доказать неравенство:

$$\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+\dots +\dfrac{x_{n-1}}{x_n}+\dfrac{x_n}{x_1}<2n-1$$

[Shadow]

По индукции от противного. Пусть
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots \frac{x_n}{x_1}<2n-1$
Добавим еще один член к последовательности и допустим, что
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots \frac{x_n}{x_{n+1}}+\frac{x_{n+1}}{x_1}\ge 2n+1$
Тогда разность не меньше 2:

$\dfrac{x_n}{x_{n+1}}+\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_1} \ge 2$

Если $x_n>x_{n+1}$ максимум первой дроби по условию будет 2, но второе слагаемое будет отрицательным
В противном случае обе слагаемые будут меньше 1.
Противоречие.

Ну и базу проверить для $n=2$ - одно слагаемое меньше 2, другое меньше 1. Сумма меньше 3.