Преобразование Фурье, передаточная функция и АФЧХ

[Munin]

lega4 в сообщении #770061 писал(а):

Фурье-образ - это функция вещественного переменного

И она же равна образу Лапласа, взятому на мнимой оси.

lega4 в сообщении #770061 писал(а):

Конечно я взял функцию на вещественной оси, вы же сам сказали так делать.

Но с точки зрения Лапласа, она расположена на мнимой оси, $i\omega.$ То есть, две функции комплексной переменной отличаются на множитель $i$ перед аргументом. И разумеется, не только вещественная ось переходит в мнимую ось, но и вся остальная плоскость аргумента поворачивается на 90°, в том числе, полюс, который был в точке $i,$ переходит в точку $-1.$

[profrotter]

lega4 в сообщении #770061 писал(а):

В тему призываются еще люди, знакомые с теорией управления.

А вам не теория управления тут нужна, а теория фукнций комплексного переменного. Посмотреть, скажем, Свешников, Калашников Теория функций комплексного переменного.

Начинать надо не со статеек, а самого определения преобразования Лапласа. Там мы скажем, что преобразование Лапласа рассматривается для оригиналов, то есть таких сигналов $s(t)$, которые отличны от нуля только при положительных $t$ и возрастают не быстрее некоторой экспоненты, то есть существуют такие положительные числа $M$ и $\alpha_0$, что $|s(t)|<Me^{\alpha_0 t}$. $\alpha_0$ называют показателем роста функции. Обратное преобразование Лапалса даётся выражением

$$s(t)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}S(p)e^{pt}dp,$$

где $S(p)$ - изображение, а вот $C$ - произвольные замкнутый контур, лежащий в области аналитичности изображения и охватывающий все его полюсы. И вот тут уже следует обратить внимания, что интегрирование идёт по некоторому контуру, а вовсе не по всей комплексной плоскости. По теореме о вычетах результат такого интегрирования есть два-пи-и-сумма вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах. И вот это свойство функций комплексного переменного вас и удивляет. Конечно же никаким образом полюсы не отпечатываются на контуре интегрирования.

Далее, универсальности ради учитывают, что полюсы изображения лежат в полуплоскости $\operatorname{Re}p<\alpha_0$ и выбирают конутур интегрирования, который их всех обязательно охватит. Это контур от $\alpha-i\infty$ до $\alpha+i\infty$, где $\alpha>\alpha_0$ (см. рисунок). Обратите внимание, что эта линия является замкнутым через бесконечно-удалённую точку контуром.

Сигналы, для которых существует преобразование Фурье необходимо являются убывающими на бесконечности. Для них показатель роста $\alpha_0=0$ и все полюсы их изображений находятся в левой полуплоскости. Это позволяет выбрать в качестве контура интегрирования саму мнимую ось, то есть контур от $-i\infty$ до $+i\infty$ и обратное преобразование Лапласа записать в виде:

$$s(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-i\infty}^{+i\infty}S(p)e^{pt}dp$$

Сделаем в интеграле замену переменной $p=i\omega$, тогда $dp=id\omega$ и

$$s(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(i\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

Взяв преобразование Фурье от левой и правой части записанного выражения, получим, что $S(i\omega)$ является спектральной функцией сигнала. Обратите внимание, что после замены переменной мы получили не интеграл по действительной оси, а опять-таки интеграл по кунтуру, замыкающемуся в бесконечно удалённой точки, но уже в другой системе координат. Переместились конечно и полюсы.

В общем корень зла, которое вас удивляет, следует искать в теореме о вычетах. Она волшебна: интегрируем по любому контуру, а результат зависит лишь от вычетов подынтегрального выражения, которые находятся внутри контура.

[lega4]

profrotter благодарю. Напомнили то, что было год назад, хотя, честно говоря, я не понял, как напоминание ТФКП было связано с моими вопросами.

profrotter в сообщении #770413 писал(а):

Это контур от $\alpha-i\infty$ до $\alpha+i\infty$, где $\alpha>\alpha_0$

profrotter в сообщении #770413 писал(а):

Для них показатель роста $\alpha_0=0$ и все полюсы их изображений находятся в левой полуплоскости. Это позволяет выбрать в качестве контура интегрирования саму мнимую ось, то есть контур от $-i\infty$ до $+i\infty$

Здесь у вас небольшое противоречие, поскольку неравенство было строго, а вы берете нестрого. Но, допустим, это не критично, т.к. у наших функций нет полюсов на мнимой оси (не будем рассматривать такие нехорошие функции, у которых есть).

profrotter в сообщении #770413 писал(а):

Взяв преобразование Фурье от левой и правой части записанного выражения, получим, что $S(i\omega)$ является спектральной функцией сигнала.

И правда. Хотя вроде это то же самое, что я писал во 2 вопросе - замена p на $i\omega$ просто дает нам преобразование Фурье. Хм, странная штука.. Вроде с одной стороны это и так очевидно, но подвесило в раздумья минут на 10, когда внимательно подумал... Ну ладно.

Сегодня вроде наконец-то подсказали немного, все было, как и ожидалось, просто.
Во всех задачах мы считаем, что преобразование Лапласа существует. Вроде отсюда достаточно очевидным образом следует, что существует и преобразование Фурье (которое, как мы логично и получили, есть Лаплас-образ, взятый в $i\omega$). Поэтому на самом деле нам все равно, каким преобразованием пользоваться, но типа Лапласом мы умеем пользоваться, поэтому пользуемся им. А когда решили уравнение в образах, вспоминаем, что на самом деле нам бы хотелось это рассматривать как преобразование Фурье.

Было:
$Y(p)=K(p)\cdot X(p)$
Магические пассы:
$\hat{y}(\omega)=K(i\omega)\cdot \hat{x}(\omega)$
И обращаем внимание, что K в обоих случаях одна и та же функция, а иксы и игреки разные (пусть и связанные понятным образом).

Та-да - это именно то, о чем были первые два вопроса. Вот откуда там берется $i\omega$! Да, видимо, это было очевидно с самого начала, но мне понадобилось нное количество времени для осознания этого.

Остался четвертый вопрос - как "на пальцах" можно интерпретировать преобразование Фурье?

[Munin]

lega4 в сообщении #772095 писал(а):

И обращаем внимание, что K в обоих случаях одна и та же функция, а иксы и игреки разные (пусть и связанные понятным образом).

Почему разные? $\hat{y}(\omega)\equiv Y(i\omega),$ $\hat{x}(\omega)\equiv X(i\omega).$

[profrotter]

lega4 в сообщении #772095 писал(а):

Здесь у вас небольшое противоречие, поскольку неравенство было строго, а вы берете нестрого. Но, допустим, это не критично, т.к. у наших функций нет полюсов на мнимой оси (не будем рассматривать такие нехорошие функции, у которых есть).

Ну какое там неравенство надо в учебнике смотреть. Я то не помню. А перенос контура на мнимую ось, когда там есть полюсы уже рассматривали в сообщении #503622. Да и вся та тема, возможно, для вас будет интересна.

lega4 в сообщении #772095 писал(а):

Остался четвертый вопрос - как "на пальцах" можно интерпретировать преобразование Фурье?

Я на пальцах представляю спектральную плотность в показательной форме $S(\omega)=|S(\omega)|e^{i\varphi_s(\omega)}$ и рассматриваю действительный сигнал

$$s(t)=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{i\omega t}dt=\operatorname{Re}\frac {1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{i\omega t}dt=$$

$$\frac {1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\operatorname{Re}|S(\omega)|e^{i\varphi_s(\omega)}e^{i\omega t}dt=\frac {1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|S(\omega)|\cos(\omega t+\varphi_s(\omega))dt$$

Или, учётом свойства сопряжённой симметрии $S(-\omega)=S^{*}(\omega), |S(-\omega)|=|S(\omega)|, \varphi_s(-\omega)=-\varphi_s(\omega)$, запишем

$$s(t)=\frac {1}{\pi}\int\limits_{0}^{+\infty}|S(\omega)|\cos(\omega t+\varphi_s(\omega))dt$$

А интеграл - это предельная сумма и сигнал, таким образом, представляется в виде совокупности своих гармонических составляющих с амплитудами $\frac {1}{\pi}|S(\omega)|d\omega$ и начальными фазами $\varphi_s(\omega)$. Функция $|S(\omega)|$ характеризует распределение амплитуд гармонических составляющих сигнала по частоте, а $\varphi_s(\omega)$ - начальных фаз.

В исходном виде преобразование Фурье рассматривается как представление сигнала в виде совокупности комплексных гармонических составляющих, а спектральная плотность характеризует распределение их комплексных амплитуд по частоте.

Преобразование Фурье не только даёт интегральное описание детерминированного сигнала, но и соответствует детерминированной модели мира: составляющие сигнала, бесконечные во времени, существуют с начала мира, но так хитро складываются, что обнаружить их не удаётся и лишь на интервале локализации сигнала складываются так, чтобы имел место импульс. По завершении импульса гармоники никуда не исчезнут, лишь снова будут складываться так, чтобы в результате давать ноль. Существование импульса, таким образом, предначернтано с самого начала и память о нём остаётся навечно.

Примеры использования преобразования Фурье в при анализе явлений дифракции есть в книге Хургин Яковлев Финитные функции в физики и технике. Там в первой части материал, который может быть полезен для понимания на пальцах.

Ещё что-то на пальцах применительно к оптике и с рисунками есть в Соломатин История науки.

[Munin]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #773027 писал(а):

Преобразование Фурье не только даёт интегральное описание детерминированного сигнала, но и соответствует детерминированной модели мира

Ну, это притягивание философии за уши к математике. Полезно для понимания на пальцах, но не надо принимать слишком всерьёз.

[profrotter]

(Munin)

Преобразование Фурье на пальцах