Построить риманово многообразие по заданным реперам.

[Pooh]

Прошу направить или пояснить следующий момент.
Пусть в некоторой области $R^2$ задано гладкое поле ортонормированных реперов $e_i$. Определяется ли таким образом некоторая система координат? Насколько я понимаю, нет. Пример - полярная система координат, где длины локальных базисов меняются от точки к точке. Но что будет, если я задаю их единичными?
Можно ли построить многообразие по следующему принципу. Есть множество точек, в каждой точке задаём метрический тензор $g$ тождественно единичному, коль реперы ортонормированные. Получается, что метрический тензор всюду единичный, но дифференцирование на таком многообразии явно сложнее устроено. Почему? Связность ненулевая? Спасибо.