Доказать предел

[Keter]

Пусть $x_n=\{qn\}, n \in \mathbb{N},$ $q$ - иррациональное, $A=[a, b] \subset [0, 1], I_A(x)$ - индикатор $A.$
Доказать, что

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n I_A(x_n) = b-a.$$

Ясно, что сумма - это количество элементов $x_n,$ входящих в $A.$
Но как это расписать...?

[Sonic86]

http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s0 ... ndex.shtml
Вообще, вот такая штука есть.
Хотя данный факт должно быть несложно доказать ручками.

[Keter]

Sonic86, хочется понять доказательство этого предела без использования критерия Вейля. И других теорем о равномерном распределении. С чего начать?

[Sonic86]

Вот интересно: факт очевидный, а без критерия Вейля я доказать его не могу.
Можно пробовать пользоваться цепными дробями: иррациональное число $\theta$ представляем как $\frac{P_r}{Q_r}+\frac{c}{Q_r^2}, c<1$, выбирая $r$ такое, что $Q_r\geqslant n$ мы получим, что $kP_r$ пробегает полную систему вычетов по модулю $Q_r$ (из чего делаем потом удобные выводы), а 2-е слагаемое оценивается как $\frac{1}{Q_r}$. Правда, я здесь не доказываю существование предела. И вообще странно: если факт носит матаналитический характер, то зачем в нем цепные дроби?

[alcoholist]

Sonic86 в сообщении #769385 писал(а):

факт очевидный, а без критерия Вейля я доказать его не могу

А это не просто интегральная сумма по специфическому такому разбиению?

[Keter]

С критерием Вейля всё понятно. Дробную часть в экспонате можно вообще не рассматривать, тогда получим:

$$\dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N e^{2 \pi hqn},$$

обозначим $e^{2 \pi hq}=t,$ тогда это просто сумма геометрической прогрессии, а именно

$$\dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N t^n=\dfrac{t^n-1}{N(t-1)}.$$

Очевидно, $t^n-1$ ограничено, $t-1$ константа, значит, при $N \to \infty$ дробь стремится к нулю. Ну а по определению равномерно распределенной последовательности предел из условия равен b-a.

Sonic86, помогите мне сделать одну штуку. Может у нас вместе получится
Предлагаю вообще рассматривать $A=[0, a) \subset [0, 1).$
Теперь в частности: сначала рассмотрим $x_i=\{\sqrt{n}\}, n \in \mathbb{N}.$
Можно попробовать руками посчитать количество элементов $x_i,$ входящих в $A.$ Сейчас нужно придумать по чем считать сумму... Сейчас подумаю
А потом можно что-то придумать для $\{qn\}.$

alcoholist, что Вы имеете в виду?

$$\int \limits_0^1 I_A(x) dx ?$$

[alcoholist]

Keter в сообщении #769516 писал(а):

alcoholist, что Вы имеете в виду?

$$\int \limits_0^1 I_A(x) dx ?$$

ну да... вроде того, что при больших $n$ в каждый интервал длины $1/n$ попадает одно число из $x_1,\ldots ,x_n$ (с точностью до исчезающей поправки)

[provincialka]

Keter в сообщении #769516 писал(а):

alcoholist, что Вы имеете в виду?

$$\int \limits_0^1 I_A(x) dx ?$$

А я подумала, что имеется в виду интеграл по $[a, b]$ от функции $f(x)=1$. Отрезок разбивается на части длиной $1/n$. Если в каждой по одной точке множества, то ее можно взять за $\xi_i$. Но это надо проверить.

[alcoholist]

provincialka в сообщении #769522 писал(а):

А я подумала, что имеется в виду интеграл по $[a, b]$ от функции $f(x)=1$. Отрезок разбивается на части длиной $1/n$. Если в каждой по одной точке множества, то ее можно взять за $\xi_i$. Но это надо проверить.

ну, интеграл по $[0,1]$ от характеристической функции

[Keter]

provincialka, там же индикатор, это одно и то же + интеграл аддитивен.

alcoholist, у меня не получается доказать, что

$$\dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N I_{[a, b]}(x_i)$$

является интегральной суммой. Как Вы это сделали?

[alcoholist]

Keter в сообщении #769540 писал(а):

у меня не получается доказать, что

$$\dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N I_{[a, b]}(x_i)$$

является интегральной суммой

я предлагал доказать это с точностью до величины стремящейся к нулю при $n\to \infty$

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #769404 писал(а):

А это не просто интегральная сумма по специфическому такому разбиению?

Я подумал, у меня не получилось показать, что для последовательности точек $\{\theta k\}$ получаем интегральную сумму. Т.е., конечно, там есть критерий: $x_n$ р.р. мод 1 $\Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nf(\{x_n\})=\int\limits_0^1 f(t)dt$ для любых достаточно хороших $f$ (при этом Keter может и не захотеть его использовать, т.к. он относится к теории равномерного распределения). Но как показать отсюда, что именно $\{\theta k\}$ р.р. мод 1, я не знаю.
Но я мог где-то тупануть.

Keter в сообщении #769516 писал(а):

Теперь в частности: сначала рассмотрим $x_i=\{\sqrt{n}\}, n \in \mathbb{N}.$
Можно попробовать руками посчитать количество элементов $x_i,$ входящих в $A.$ Сейчас нужно придумать по чем считать сумму... Сейчас подумаю

Я что-то не уверен, что $\{\sqrt{n}\}$ р.р. мод 1.
Вы возьмите хотя бы Лидла Нидеррайтера чисто для самоконтроля. Там несколько примеров приведены. Вроде как $\{n^a\}$ р.р. мод 1 только при $a>1$. (я себя еще перепроверю, и Вы тоже перепроверьте)

(Оффтоп)

смогу отвечать осмысленно только часов через 10

[sup]

Полагаю, что достаточно иметь представление (с натуральными взаимно-простыми $p,r$)
$q = \frac {p}{r} + O(\frac {1}{r^2})$
для сколь угодно большого $r$.
После этого смотрим, куда попадают точки из подпоследовательностей
$x_1, x_2 \dots x_r$

$x_{r+1}, x_{r+2} \dots x_{2r}$

$x_{2r+1}, x_{2r+2} \dots x_{3r}$

$\dots$
А затем получаем оценку для суммы с ошибкой порядка $O(\frac {1}{r})$

[Keter]

alcoholist

alcoholist в сообщении #769521 писал(а):

ну да... вроде того, что при больших $n$ в каждый интервал длины $1/n$ попадает одно число из $x_1,\ldots ,x_n$ (с точностью до исчезающей поправки)

Как это можно доказать?
Из этого следует, что последовательность $\{\theta n\}$ всюду плотна в $[0, 1] ?$ А из этого следует предел из условия?