Отношения вложения

[Manticore]

provincialka
Теперь совсем понятно! Спасибо большое за объяснение.

[provincialka]

Но вы все-таки докажите аккуратно, что полученное отображение - инъекция.

[Manticore]

provincialka в сообщении #769228 писал(а):

Но вы все-таки докажите аккуратно, что полученное отображение - инъекция.

Вроде так:
$c \mapsto g(c)$ - это нужная функция
Докажем, что она инъективна:
$g(c_1)=g(c_2) \Leftrightarrow c_1 \neq c_2$
$f \circ \varphi^{-1}(c_1)=f \circ \varphi^{-1}(c_2)$

А $\varphi^{-1}$ инъективна, потому что:
$\varphi^{-1}(\varphi(b_1))=\varphi^{-1}(\varphi(b_2)$, и $\varphi$ инъективна по условию.

[provincialka]

Manticore в сообщении #771357 писал(а):

Докажем, что она инъективна:
$g(c_1)=g(c_2) \Leftrightarrow c_1 \neq c_2$

Это что такое? Почему равносильно? И при чем тут $c_1, c_2$? Вы же не $g$ на инъективность проверяете! $g$ может быть хоть константой!
Пишите подробно. Что такое "нужная функция"? Кому нужная и зачем? Это же все-таки математика!

Начните так. Пусть $\varphi : B \to C$ - инъекция. Построим отображение $h: A^B \to A^C$ следующим образом. Для каждой функции $f : B\to A$ имеем $h(f) = g : C\to A$, задаваемая формулами: $g(c) = f(\varphi^{-1}(c))$, если $c\in \varphi(B)$ и $g(c)=a_0$ в противном случае. Здесь $a_0$ - произвольный элемент $A$, которое по условию не пусто.

Докажем, что отображение $h$ инъективно. Предположим, что это не так. Тогда существуют две различные функции $f_1, f_2$ из $B$ в $A$ такие, что $h(f_1)=h(f_2) = g$ ...

Далее постарайтесь продолжить сами.

[Manticore]

provincialka в сообщении #771367 писал(а):

Это что такое? Почему равносильно?

Значит, там должен быть знак "следовательно"?

Докажем, что отображение $h$ - инъективно. Пусть это не так, тогда $h(f_1)=h(f_2)=g$ и $f_1 \neq f_2$
$g=f(\varphi^{-1})$ $\Rightarrow f_1(\varphi^{-1})=f_2(\varphi^{-1})=g$, т.е. $f_1=f_2$ и отображение $h$ - инъекция.
Это неверно?

[provincialka]

Manticore в сообщении #771391 писал(а):

Значит, там должен быть знак "следовательно"?

При каком предположении? И что такое $c_1, c_2$?Т откуда куда идет следствие? Эта часть вообще не нужна, по крайней мере в начале доказательства.

Последний вариант неплохой, если Вы действительно понимаете, как показать равенство функций $f_1, f_2$.

[Manticore]

provincialka в сообщении #771436 писал(а):

Эта часть вообще не нужна, по крайней мере в начале доказательства.

Хорошо, спасибо.

provincialka в сообщении #771436 писал(а):

Последний вариант неплохой, если Вы действительно понимаете, как показать равенство функций $f_1, f_2$.

Я исходил из того, что применить функцию $g$ к $c$ - это то же самое, что применить к $c$ сначала функцию $\varphi^{-1}$, а затем к $\varphi^{-1}(c)$ применить $f$.
В обоих случаях мы применяем одну и ту же функцию $\varphi^{-1}$, а затем $f_1$ и $f_2$, получая одинаковый результат - $a$. Поэтому $f_1=f_2$?

[provincialka]

Ну, не очень поняла. Мне проще формальное рассуждение. Когда функции $f_1, f_2$ различны? Когда они не совпадают хотя бы в одной точке, например, $f_1(b)=a_1, f_2(b)=a_2, a_1\ne a_2$. Дальше что?

[Manticore]

$f_1(\varphi^{-1})=f_2(\varphi^{-1})=g$, т.е. у функций совпадают прообразы и образы, значит, они равны.

[provincialka]

Ладно, пусть так.

[Manticore]

provincialka
Спасибо Вам за помощь.

[provincialka]

Пожалуйста. Чуть чо - обращайтесь.