Лемма. Если целые числа

(

) взаимно просты в совокупности, то существует целочисленная матрица

размера

с первой строкой, совпадающей с вышеприведённым набором чисел, и определителем, равным

.
Доказательство. Пусть

- матрица размера

(вектор-строка). Рассмотрим элементарное преобразование вектора

, состоящее в прибавлении к одному из его элементов,

, другого,

, умноженного на некоторое целое число

. До тех пор, пока у вектора

есть минимум две ненулевые координаты, выбираем наименьшую по модулю координату

и любую другую,

, и, подбирая соответствующим образом

, производим указанное преобразование, уменьшая по модулю

, а значит и общую сумму

. Бесконечно долго сумма

, являющаяся целым числом, уменьшаться не может, поэтому после конечного числа таких преобразований мы придём к ситуации, когда у полученного вектора

останется ровно одна ненулевая координата. Так как наибольший общий делитель координат

при преобразовании не изменяется, то эта координата может быть равна только

.
Посмотрим на произведенные операции по-другому. Вначале мы имеем тривиальное соотношение

. Каждая операция заключается в умножении обеих частей этого равенства справа на целочисленную матрицу

, имеющую

. Слева всегда будет полученный вектор

, а справа произведение исходного

на некоторую матрицу

, которая, как произведение указанных выше элементарных матриц, всегда будет целочисленной с определителем, равным

:

При этом, не ограничивая общности, можно считать, что в конце концов получится вектор

иначе произведём перестановку двух координат

и/или замену знака первой координаты, а возможную при этом смену знака

подправим ничего не значащим для левой части

умножением на единичную матрицу, у которой вторая единица по диагонали заменена на

.
Теперь ясно, что можно взять

. Действительно, из целочисленности

и

следует, что

также целочисленна, а из

- что

.

говорит нам, что слева в последнем равенстве стоит первая строка матрицы

. Лемма доказана.
Теперь мы можем применить эту лемму к решению обеих задач.
Первая решается, если заметить, что, в случае попарно взаимно простых чисел

, числа

,

,

взаимно просты в совокупности.
При решении второй вынесем вначале наибольший общий делитель

заданных коэффициентов за скобку (случай, когда все

, тривиален), потом применим лемму и возьмём в качестве требуемой матрицы

, где

- матрица, фигурирующая в доказательстве леммы, а потом "внесём"

в какую-либо из строк

, кроме первой. Заменим первую строку полученной матрицы на строку переменных

и получим то, что нужно. Действительно, т.к.

, то, по правилу алгебраических дополнений вычисления обратной матрицы, первая строка

, совпадающая с числами

, составляется из алгебраических дополнений первой строки матрицы

, которые есть не что иное, как коэффициенты получаемой из этой матрицы линейной формы.
Таким образом, уже в утвердительной форме, получена следующая
Теорема. Любую линейную форму от

переменных с целыми коэффициентами можно представить в виде определителя матрицы

, первой строкой которой являются переменные, а в остальных стоят целые числа.
В качестве несложного упражнения предлагаю доказать, что слова "целыми(е)" в этой теореме можно заменить на любое из слов: "рациональными(е)", "действительными(е)", "комплексными(е)".
(Оффтоп)
Алгебраисты наверняка углядят там какое-нибудь
поле.
