Шар в цилиндре.

[nikvic]

По внутренней стенке вертикального цилиндра радиуса R катится, не меняя высоты, (никакого сопротивления, а вот трение достаточно) шарик радиуса r.

Какова скорость его центра?

Вариант - не цилиндр, а конус

[Oleg Zubelevich]

на всякий случай: шар катится без проскальзывания по поверхности.

[Утундрий]

Вертикальность подразумевает $g$?

[Oleg Zubelevich]

http://www.youtube.com/watch?v=1t1grbgT5pE

[Oleg Zubelevich]

Через $S$ обозначим центр масс шара. Уравнения движения имеют вид

$$\dot{\overline{K}}_S=[\overline{SP},\overline T],\quad m\dot{\overline v}_S=m\overline g+\overline T,\qquad (*)$$

где $\overline T$ -- сила реакции опоры, $P$ -- точка шара, которой он касается поверхности, $\overline K_S=J\overline \omega$ -- кинетический момент (в осях Кенига) шара относительно точки $S$, $J$ -- момент инерции шара относительно оси проходящей через центр, $\overline \omega$ -- угловая скорость шара.

Введем подвижную декартову систему координат $O\xi\eta\zeta$ так, что ось $\zeta$ лежит на оси цилиндра (конуса) и направлена вверх; ось $\eta$ проходит через центр шара; плоскость $O\xi\eta$ горизонтальна. ($\overline v_O=0$)
Через $\overline \Omega=\Omega\overline e_\zeta$ обозначим угловую скорость данной системы. По условию она постоянна; $\Omega>0$.
По формуле относительно-абсолютного дифференцирования, и т.к. векторы $\omega,\overline v_S$ постоянны в системе $O\xi\eta\zeta$, уравнения (*) приобретают вид

$$J[\overline \Omega,\overline \omega]=[\overline{SP},\overline T],\quad m[\overline \Omega,\overline v_S]=m\overline g+\overline T.\qquad(**)$$

К этим уравнениям следует добавить кинематические соотношения:

$$\overline v_P=\overline v_S+[\overline\omega,\overline{SP}]=0,\quad \overline v_S=[\overline\Omega,\overline{OS}].\qquad(!!)$$

Исключая из (**) силу реакции находим:

$$J[\overline \Omega,\overline \omega]=-m\overline v_S(\overline{SP},\overline\Omega)-m[\overline{SP},\overline g].\qquad (!)$$

Уравнения (!),(!!) верны и для конуса и для цилиндра,но по осям в каждом из этих случаев они расписываются по разному.

В случае цилиндра, необходимые и достаточные условия для указанного в стартовом посте движения следующие:

$$-|v_S|=r\omega_\zeta,\quad -J|v_S|\omega_\eta=mrg(R-r),\quad \omega_\xi=0,$$

где $r$ -- радиус шара, $R$ -- радиус цилиндра, $\Omega=|v_S|/(R-r)$.

[nikvic]

[Oleg Zubelevich]

у меня есть смутное подозрение, что Ваша формула взята из славной науки под названием "прецессионная теория гироскопа"

[nikvic]

В этой славной науке, в приближённом её варианте, игнорируется составляющая момента импульса, перпендикулярная естественной оси волчка.
Вы это учитываете, рассматривая "сложное вращение" -

Oleg Zubelevich в сообщении #769070 писал(а):

Введем подвижную декартову систему координат

Но для шара проще действовать напрямую: у него нет выделенных "осей" эллипсоида инерции.

[Xey]

Поясните для чайников, что это за картинка? Вроде бы радиальное сечение циллиндра, или аксонометрия?
Шар бросили под скрещенно с осью от нас-вниз, омега должна бы вниз - на нас.
И момент силы тяжести он где, и где прецессиия от него?

[nikvic]

Тип проекции определить затрудняюсь

Шар катится по горизонтальной направляющей кругового вертикального цилиндра, сейчас скорость центра направлена от нас (косой крест).
Так что шарик вращается примерно по солнышку, а его центр "вращается" по окружности R-r строго против солнышка.

[Oleg Zubelevich]

мне непонятно, как Вы написали теорему об изменении кинетического момента, в частности, я не понимаю относительно какой точки Вы ее писали

[nikvic]

Относительно ЦМ.
Можно было взять вспомогательную СО, которая поступательно движется вместе с центром шара. Но траектория точки касания на шаре меня не интересовала

[Oleg Zubelevich]

nikvic в сообщении #770049 писал(а):

Относительно ЦМ

а откуда тогда взялся mgr и почему не вошла сила реакции цилиндра?

[nikvic]

Ну, это-то Вы и так понимаете.
"Вращение по кругу" равномерное, и стенка действует на шар точно так же, как если бы ластик вращался у стенки вместе со стаканом. Обеспечивая ц-стремительное ускорение нормальной реакцией и неизменность высоты трением.

[Oleg Zubelevich]

Понятно. Значит, Вы сделали в уме то, что я сделал карандашом на бумаге. Это не производит впечатление более простого решения.