Суперфакториал

[Ktina]

Суперфакториалом натурального числа $n$ называется произведение факториалов всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.
Найти все такие натуральные $k$, при которых десятичная запись суперфакториала числа $3k+1$ оканчивается ровно на $k^2+1$ нулей.

[mihiv]

Число нулей, на которое оканчивается десятичная запись $m!$ , равно показателю степени $\nu _5(m)$, с которым 5 входит в разложение $m!$ на простые множители. Поэтому число нулей, на которое оканчивается десятичная запись суперфакториала числа $3k+1$, равно:

$$N=\sum \limits _{m=5}^{3k+1}\nu _5(m)$$

Заметим,что для любого $m$ выполнено неравенство:

$$\nu _5(m)>\frac m5-1+\frac m{25}-1=\frac 6{25}m-2$$

Отсюда:

$$N>\frac 6{25}\sum _{m=5}^{3k+1}m-2(3k-3)=\frac {27}{25}k^2-\frac {123}{25}k+\frac {96}{25}$$

При $k>60$ правая часть неравенства $>k^2+1$, поэтому нужно проверить только $k\leqslant 60$.
Все $k$ не проверял, но при $k=19$ получается: $N=k^2+1=362$.

[Ktina]

mihiv, красивое решение. А ответ $k=19$ единственен.