Определение интеграла Римана

[Amigo]

Здесь даётся определение интеграла по Риману.
Важнейший текст в частности следующий: "
рассматривают произвольное разбиение отрезка $[a, b]$ точками $a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b$ в каждом отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ $(i = 1, 2,\ldots, n)$ берут произвольную точку s_i и образуют сумму S_n=f(s_1)(x_1-x_0)+...+f(s_n)(x_n-x_{n-1}) (**)

Сумма $S_n$ зависит от выбора точек $x_i$. Однако в случае непрерывной функции $f (x)$ суммы $S_n$, получающиеся при различном выборе точек $x_i$, стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей $x_i - x_{i-1}$ стремится к нулю при $n\to\infty$. Этот предел и является определённым интегралом. "

Меня больше всего интересуют слова "стремится к нулю". Что это вообще значит? Ну значит ли это например, что в конце концов точки $x_i$ и $x_{i-1}$ - совпадут?
То есть у нас получится, что каждый прямоугольник имеет нулевую площадь? - По видимому нет, и вот почему: количество точек которыми разбивается отрезок - счётно (поскольку сумма берётся от нуля до бесконечности, пробегая весь натуральный ряд) , Точек же на прямой - континуум, следовательно должны найтись точки не входящие в сумму (**) а значит входящие в некоторый отрезок длина которого больше нуля. Но по условию длина максимального ( здесь снова употребляется это заклинание) "стремится к нулю" поэтому ввиду сказанного ясно, что в нём "концы не сходятся". Но во всё том в чём концы не сходятся присутствует некоторое расстояние. И в соответствии с этим, обязательно должна присутствовать некоторая погрешность, по сравнению с истинным значением площади криволинейной трапеции.
Но математики видимо не согласятся с какой либо погрешностью в их исчислении
площадей. Вот здесь и вопрос: а на чём жиздится такая розовая увереность?
Ясно, что в моём не понимании слов "стремится к нулю". Так что же они значат?

[PAV]

Вспомните определение обычного предела функции в точке. Мы говорим, что $f(x)\to a$ при $x\to0$, если какую бы малую окрестность вокруг $a$ ни взять, будет существовать такое число $\delta$, что $f(x)$ попадает в эту окрестность, если $0<|x|<\delta$. Т.е. иначе говоря, мы можем как угодно близко подвести $f(x)$ к $a$, если подведем $x$ достаточно близко к нулю. Обратите внимание на два обстоятельства. Во-первых, это определение устанавливает близость $f(x)$ к $a$ не для какого-то одного значения $x$, а сразу для всех значений, которые достаточно близки к нулю. И во-вторых, определение не устанавливает никаких условий на $f(0)$. Это значение вовсе не обязано быть равно $a$ и даже не обязано быть определено (например, если $f(x)=\frac{\sin x}{x}$, то предел в нуле равен 1, хотя функция в этой точке не определена). Таким образом, предел характеризует поведение функции в окрестности данной точки, а что происходит в самой точке - это к пределу отношения не имеет.

Или даже более показательный пример с пределом при $x\to\infty$. Если функцию в точке еще можно доопределить, то в данном случае то, что мы обозначаем $\infty$, не является точкой вещественной оси вообще, поэтому и говорить о "значении функции в бесконечности", оставаясь в рамках обычных вещественных чисел, нельзя.

Аналогично и с интегралом. В данном случае мы вместо точек, в которых берется функция, рассматриваем разбиения отрезка на конечное (!) число частей. Для каждого такого разбиения есть число, которое геометрически обозначает площадь фигуры, составленной из соответствующих прямоугольников. Существование интеграла означает, что мы можем сколь угодно хорошо приблизить площадь криволинейной трапеции такими фигурами, если возьмем любое разбиение так, чтобы все длины отрезков были не больше заданного (малого) числа. Но при этом тот "предельный" объект, который Вы пытаетесь себе представить, когда точки разбиения "совпадут", просто не существует. Так что никакого "в конце концов" просто не существует, так же как когда мы пишем $x\to\infty$, то это не означает, что $x$ "рано или поздно окажется в бесконечности". И вообще, $x$ во всех этих утверждениях никуда не движется. Предел - это всего навсего утверждение о поведении функции в некоторой области.

[Amigo]

Благодарю за разьяснение. Немного стало понятней, но всё равно ещё до полного понимания далеко.

Вы пишите:

PAV писал(а):

Мы говорим, что $f(x)\to a$ при $x\to0$, если какую бы малую окрестность вокруг $a$ ни взять, будет существовать такое число $\delta$, что $f(x)$ попадает в эту окрестность, если $0<|x|<\delta$.

вопрос: Какую такую "какую бы малую окрестность" - Вы имеете ввиду?
Создаётся впечатление, что будто бы у нас где то имеется перечень этих окрестностей
и мы по порядку их все проверяем на условие, что для каждой из них, существует число $\delta$ удовлятворяющее условию $0<|x|<\delta$ и как бы говорим так: "ну что же, раз весь перечень окрестностей пройден и для каждой такое число нашлось,
то мы тем самым доказали, что чило а есть предел". Но разве у нас где то есть такой перечень окрестностей? Что то я не разу не встречал ни в одном учебнике хотя бы косвенный на это намёк. Поэтому не понятно из чего мы выбираем, и что вообще значат эти слова.
Мы же не можем заниматься в математике волюнтаризмом, и говорить, что конкретные окрестности то возникают то исчезают, и это всё исключительно по нашему желанию.
А если не можем, то хотелось бы понять: из какого наперёд заданного множества (существование которого не зависит от нашей воли) мы выбираем эти "любые" окрестности?

[PAV]

Amigo писал(а):

вопрос: Какую такую "какую бы малую окрестность" - Вы имеете ввиду?

Для любой окрестности должно существовать такое число $\delta$. Слово "малую" можете выбросить, строго говоря оно не значимо. Чтобы доказать существование предела, надо действительно проверить все окрестности. Абсолютно все.

[Amigo]

Можно ли утверждать, что всех возможных окресностей столько же
сколько вещественных чисел? и что следовательно мы должны ДЛЯ
КАЖДОГО положительного вещественного числа e ( радиуса окрестности) проверить существование числа d ?

[PAV]

Да. С тем небольшим комментарием, что если число $\delta$ подходит для некоторой окрестности, то оно подходит и для любой большей окрестности. Так что, если это необходимо, то можно при доказательстве брать только окрестности достаточно малого радиуса.

Посмотрите учебные примеры - существование пределов именно таким путем обычно и доказывается.