Уравнение в поле простого порядка [Алгебра]

[Whitaker]

Здравствуйте!

Всегда ли в $\mathbb{F}_p$ разрешимо уравнение $x^2+y^2=-1?$
Помогите пожалуйста. Никаких идей пока нет у меня

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #767560 писал(а):

Всегда ли в $\mathbb{F}_p$ разрешимо уравнение $x^2+y^2=-1?$

Да, всегда. Перепишите уравнение в виде $x^2=-y^2-1$ и подумайте, сколько различных значений может принимать левая часть этого уравнения и сколько --- правая.

При желании можно подсчитать и количество решений этого уравнения.

[Whitaker]

nnosipov
Если я Вас правильно понял, то левая часть принимает ровно $\dfrac{p-1}{2}+1=\dfrac{p+1}{2}$ различных значений.
Да и правая столько же.
Так как $\dfrac{p+1}{2}+\dfrac{p+1}{2}=p+1>p$ то существует по крайней мере одно значение при которых они отождествляются, т.е. $x^2=-y^2-1$
Так?

[nnosipov]

Да, всё верно. Теперь на десерт :) найдите число решений. Можете сначала потренироваться на более простом (в некотором смысле) уравнении $x^2=y^2+1$.

[Whitaker]

nnosipov
При малых параметрах получается, а так общий что-то не могу пока что

[nnosipov]

Whitaker, на самом деле здесь можно даже выписать все решения. Особенно легко это получается в случае $p \equiv 1 \pmod{4}$. Воспользуйтесь методом секущих и рационально параметризуйте кривую $x^2+y^2+1=0$.