лошадиное доказательство

[_Ivana]

Отлично. Булева функция от натурального аргумента. А теперь определите конструктивный способ ее построения для любого аргумента. И напишите, пожалуйста. (Например, для $n={0, 1}$ всегда истина, для двух - так то, для большего - через все возможные парные сравнения или еще как)
Например, если мы определим ее как всегда истинную, независимо от $n$, то теорема конечно верна.

[nnosipov]

bot в сообщении #767244 писал(а):

Речь идёт о понимании метода математической индукции.

provincialka в сообщении #767245 писал(а):

Забавное "доказательство" - хорошее логическое упражнение на поиск ошибки.

Именно так. Что тут ещё можно обсуждать?

[Nemiroff]

Теорема: через любые $n$ точек на плоскости проходит прямая.

Доказательство по индукции.
База: через две точки проходит некоторая прямая (а может, можно в качестве базы использовать одну точку?)
Шаг: пусть через $n$ точек можно провести прямую, имеем $n+1$ точку: $a_1, a_2, ..., a_n, a_{n+1}$. Через $a_1, a_2, ..., a_n$ можно провести прямую по предположению индукции, через $a_2, ..., a_n, a_{n+1}$ также можно провести прямую. Обе эти прямые на плоскости проходят через точки $a_2$ и $a_n$, а потому совпадают. То есть, это одна прямая, проходящая через все точки $a_1, ..., a_{n+1}$. Шаг индукции доказан.

-- Вт сен 24, 2013 20:15:45 --

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #767229 писал(а):

Кажется, там было через промежуточную величину "зелёный"...

1.
1.1. Крокодил более широкий, чем зелёный, потому что он широкий и сверху, и снизу, а зелёный только сверху.
1.2. Крокодил более зелёный, чем длинный, потому что он зелёный и вдоль, и поперек, а длинный только вдоль.
То бишь, крокодил более широкий, чем длинный.

2.
2.1. Крокодил более длинный, чем зелёный, потому что он длинный и сверху, и снизу, а зелёный только сверху.
2.2. Крокодил более зелёный, чем широкий, потому что он зеленый и вдоль, и поперек, а широкий только поперек.
То бишь, крокодил более длинный, чем широкий.

[_Ivana]

nnosipov в сообщении #767325 писал(а):

Что тут ещё можно обсуждать?

А обсуждать можно как раз поиск ошибки. Мне, например, до сих пор непонятно, почему тут приводятся аргументы по арности, когда операция одноцветности может быть любой арности, и почему говорится (неоднократно и многими участниками) о единственной ошибке - индуктивном шаге при $n=1$, когда в данной постановке вообще нельзя говорить ни о каком индуктивном шаге, т.к. функция истинности не определена ни для какого $n$ в принципе - и на мой вопрос определить ее так и не был дан ответ, даже тем участником, который ее использует в своих обозначениях.

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #767517 писал(а):

А обсуждать можно как раз поиск ошибки.

Ошибка уже найдена. Обсуждать нечего.

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #767313 писал(а):

Булева функция от натурального аргумента. А теперь определите конструктивный способ ее построения для любого аргумента.

Зачем сразу булева функция и «конструктивный способ её построения»?

Если есть формула $P$ со свободной переменной $n$, метод матем. индукции позволяет вывести $\forall n\in\mathbb N \mathrel. P$, если доказаны $P(1\text{ вместо }n)$ и $P \to P(n+1\text{ вместо }n)$. Не нужно строить никакие функции, теория для этого вообще не обязана говорить что-то о булевых функциях, ей нужно только включать арифметику и всё (ну почти).

-- Ср сен 25, 2013 01:56:48 --

В данном случае кажущаяся выводимость индуктивного перехода ошибочна (повторю и я), вот и нельзя ничего вывести.

[_Ivana]

Спасибо, понял. В процессе построения индуктивного перехода мы неявно применяем свойство транзитивности бинарного отношения (на чем не было акцентировано внимание ни в доказательстве, ни, насколько я помню, в опровержениях), для этого нам необходимо минимум 3 элемента множества, что не выполняется при $n=2$.

[arqady]

В Кванте эта задача появилась в одном из первых его номеров в начале семидесятых.
Там надо было "доказать", что у всех девушек глаза одного цвета.
Помню, мне особенно нравилось вот это: берём девушку и заглядываем ей в глаза...

[miflin]

arqady в сообщении #767631 писал(а):

берём девушку и заглядываем ей в

глаза.

[Gabarityanin]

Теорема. Существует такое расстояние, на котором девушка выглядит привлекательнее всего.
Доказательство. Априори, привлекательность является положительной величиной. Поскольку на расстояниях нуль и бесконечность привлекательность равна нулю (ничего не видно), между этими точками должен существовать максимум. чтд.

-- 25.09.2013, 14:24 --

Теорема. Крокодил более длинный, чем широкий.

Лемма 1. Крокодил более длинный, чем зеленый.
Доказательство. Посмотрим на крокодила сверху - он длинный и зеленый. Посмотрим на крокодила снизу - он длинный, но не везде зеленый (брюхо у него белое). Следовательно, крокодил более длинный, чем зеленый.

Лемма 2. Крокодил более зеленый, чем широкий.
Доказательство. Посмотрим на крокодила сверху. Он зеленый и в длину, и в ширину. А широкий он только в ширину. Доказательство с других точек зрения аналогично.

Доказательство теоремы. Последовательно применяя лемму 1 и лемму 2, в силу транзитивности окончательно получаем, что крокодил более длинный, чем широкий. чтд.

-- 25.09.2013, 14:30 --

Лет 20 назад воздействие матана (а может быть и хорошей однокурсницы - за давностью лет уже и не упомнить ) заставило пытливые юношеские мозги озаботится понятием мини-юбка. В результате появились два определения.

Определение 1. Мини-юбкой называется юбка, которая заканчивается раньше, чем начинаются ноги.

Определения 2. Мини-юбкой называется юбка, длина которой меньше ширины находящегося на ней пояса.

Как говорится, а вам слабо?

[nnosipov]

arqady в сообщении #767631 писал(а):

В Кванте эта задача появилась в одном из первых его номеров в начале семидесятых.

Любопытно, не знал.

[EtCetera]

nnosipov в сообщении #767655 писал(а):

arqady в сообщении #767631 писал(а):

В Кванте эта задача появилась в одном из первых его номеров в начале семидесятых.

Любопытно, не знал.

См. статью "Что сказал проводник?" (№8 за 1973 г.).
P.S. Надо заметить, что тогда эта статья ясности в понимании, что же такое математическая индукция, мне не прибавила. Скорее, наоборот.

[nnosipov]

EtCetera, спасибо. Действительно, "Квант" тех времён читать непросто --- я бы наверно тоже не понял, что такое индукция. А вот в учебнике "Алгебры" за 9-й класс начала 80-х этот метод довольно понятно объяснялся. Правда, я ещё параллельно читал брошюрку Соминского "Метод математической индукции" (серия ПЛМ). По мне так лучше понять этот метод сначала на алгебраических примерах, а уж потом можно и фокусами баловаться.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Беседы на околонаучные темы»