Я вижу причину, по которой из равенства (127) трудно получить противоречие.
Дело в том, что существуют такие числа
![$g \in \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ $g \in \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/7/ce7096f8f088fc31dd6ef565ebf864cd82.png)
, что число

взаимно-просто с

, и

может быть квадратичным вычетом по модулю простых делителей нормы этого числа. Если, кроме этого,

сравнимо с квадратом по модулю

в кольце
![$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d7a3a65b47554ddcce081cd5bce704082.png)
, то для таких

, уравнение:
(137)
имеет ненулевые решения в кольце
![$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d7a3a65b47554ddcce081cd5bce704082.png)
.
Помножив равенство (13) на

, получим ненулевые решения для уравнения:
(138)

.
Заметим, что

в (127) (или

в (138)) можно взять взаимно-простым с

.
В самом деле, если

делится на

, то, в силу леммы 15,

и

тоже делятся на

, и, после умножения всех трёх чисел (

,

и

) на

(где число

определено в доказательстве леммы 15), их можно сократить на

.
Но на этом, в исследовании решений уравнения (138), мы поставим точку, поскольку по указанной выше причине существование ненулевых решений этого уравнения ничему не противоречит.
Я ещё раз цитирую это несправедливо пессимистичное рассуждение, потому что оно содержит информацию о решении уравнения (150):
(150)

Мы выяснили форму решения

и

по модулю

:

,

, где

и

принадлежат кольцу
![$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d7a3a65b47554ddcce081cd5bce704082.png)
.
Наше доказательство этого некорректно, потому что мы предполагали, что число

взаимно-просто с

, а этого делать нельзя.
Можно доказать это по-другому, используя лемму 15.
Но это не нужно, потому что из процитированного рассуждения следует, что существует решение

,

уже не по модулю

, а вообще.
Имея эту информацию о решении

,

можно пытаться получить из равенства (150) противоречие.
Думаю, что удобно представить

и

в виде

и

, где коэффициенты

,

,

и

,

,

- целые рациональные числа (они не обязательно целые, но можно сделать их целыми, если умножить равенство (150) на квадрат общего знаменателя).
Числа

и

уже не те, чем они были раньше, на английском это называется "abuse of notation", но если обратить на это внимание, то это приемлимо.
Я не уверен, что удастся получить противоречие, но попытаться можно.