Пара задач по алгебре - теория групп

[dsacode]

1) Найти все конечные группы, число классов сопряжённости которых
а) 1 б) 2 в) 3

2) Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений групп:
а) S_{3} б) A_{4} в) S_{4} г) Q_{8} д) D_{n} е) A_{5}

Подскажите, пожалуйста, идею решения таких заданий.

[Gringoire]

В любой группе единичный элемент составляет отдельный класс сопряженных элементов. Поэтому в а) может быть только единичная группа.

Пусть $C(x)$ - класс сопряженных элементов группы $G$, содержащий $x$. Тогда $C(x)$ - это орбита элемента $x$ при действии $G$ на себе сопряжениями. Поэтому $|C(x)|$ является делителем порядка группы $n$. Если есть ровно два класса сопряженных элементов, то один из них единичный, а в другом $n-1$ элемент. Так как $n-1 \, \mid \, n$ только при $n=2$, то случай б) имеет место только для группы из двух элементов.

В случае в) пусть $k$ и $l$ - порядки неединичных классов сопряженности. Тогда $k \mid n$, $l \mid n$ и $1+k+l = n$. Из возможных решений подойдут только $k=l=1$, $n=3$ (группа из трех элементов) и $n=6$, $k=2$, $l=3$ (группа $\bf{S}_3$).

[Gringoire]

Во второй задаче воспользуйтесь следующими теоремами:

1. Число различных неприводимых комплексных представлений конечной группы равно числу ее классов сопряженных элементов.

2. Сумма квадратов размерностей этих представлений равна порядку группы.

3. Одномерные представления группы $G$ и ее фактора по коммутанту $G/G'$ находятся во взаимно однозначном соответствии. А так как $G/G'$ - абелева группа, то все ее представления одномерны и их число равно порядку $|G/G'|$.