Сумма ряда, не удаётся доказать сходимость...

[BAHOO]

Есть ряд

$$S=\sum_\text{для всех $n$} {\biggr( \frac {7n+3} {8n+3}\biggr)^{n^2} }$$

Тут из всего, что мне известно подходит для доказательства схождения признак схождения Коши, который радикальный. Делал и следующее:
$lim \sqrt[n]{\biggr( \frac {7n+3} {8n+3}\biggr)^{n^2}}=lim {\biggr( \frac {7n+3} {8n+3}\biggr)^{n}=lim {\biggr( 1 + \frac {n} {8n+3}\biggr)^{n}$ а дальше похоже на замечательный придел, но вот загвостка в том, что должна быть $1+\text{бесконечно малая}$ ,а в данной ситуации не бесконечная малая, а 1/8...

[Yu_K]

BAHOO в сообщении #766991 писал(а):

Тут из всего, что мне известно подходит для доказательства схождения признак схождения Коши, который радикальный. Делал и следующее:
$lim \sqrt[n]{\biggr( \frac {7n+3} {8n+3}\biggr)^{n^2}}=lim {\biggr( \frac {7n+3} {8n+3}\biggr)^{n}=lim {\biggr( 1 + \frac {n} {8n+3}\biggr)^{n}$ а дальше похоже на замечательный придел, но вот загвостка в том, что должна быть $1+\text{бесконечно малая}$ ,а в данной ситуации не бесконечная малая, а 1/8...

$ \frac {7n+3} {8n+3}= 1 + \frac {n} {8n+3}$ - а это почему так?

[Ms-dos4]

BAHOO
А вы целую часть неверно выделили, ведь

$$1 + \frac{n}{{8n + 3}} = \frac{{9n + 3}}{{8n + 3}}$$

А верно так

$$\frac{{7n + 3}}{{8n + 3}} = 1 - \frac{n}{{8n + 3}}$$

Ну и тогда предел очевидно равен нулю.

-- Пн сен 23, 2013 17:50:10 --

Yu_K

(Оффтоп)

опоздал

[gris]

Идея правильная.
$7/8$ выносите за скобку, а потом второй замечательный.
Вообще-то тут и без признака видно, что именно находится в скобке. Можно сравнить с геометрической прогрессией.

[BAHOO]

Я разложил числитель следующим образом ${\biggr( \frac {7n+3} {8n+3}\biggr)^{n}={\biggr( \frac {8n+3-n} {8n+3}\biggr)^{n}={\biggr( 1+ \frac {-n} {8n+3}\biggr)^{n}$ знак потерял

-- 23.09.2013, 17:55 --

а разве в замечательном пределе не бесконечно малая величина должна быть прибавлена к единице? Тут же видно, что при $n \to \infty$ величина не бесконечно большая, а $- \frac {1} {8}$ т.е в скобках $\frac {7} {8}$

[Ms-dos4]

BAHOO
Ну у вас число меньше единицы возводится в бесконечную степень - итог 0, оставьте вы уже замечательный предел.

[BAHOO]

аааа, а я думал, что число должно быть гораздо меньше=) спс большое