Поведение суммы цифр элементов числовой последовательности

[tevellius]

Исследую поведение суммы цифр чисел вида $2^{10^N}$. При $N = 4,...,8$ обнаруживается, что суммы цифр элементов данной последовательности имеют вид $135\cdot10^k + r$, где $k\le0$ и $r\le0$ (разумеется, речь идет о представлении чисел в десятичной системе счисления).

Например, для $N = 8$ сумма цифр числа $2^{10^8}$ составляет $135481777 = 135\cdot10^6 + 481777$

Это наводит на мысль, что и для $N\ge9$ данный закон будет сохраняться. Однако непонятно, как доказать или опровергнуть эту гипотезу. Пока работаю над реализацией быстрого многопоточного алгоритма возведения в степень, чтобы получить в разумные сроки суммы цифр чисел вида $2^{10^N}$ хотя бы до $N = 20$.

C другой стороны, обработав $263238$ первых чисел в последовательности ${2^N, N = 1,2,3,...}$ я обнаружил, что суммы цифр вида $135\cdot10^k + r$ встречаются достаточно редко — к их появлению приводят лишь $816$ показателей из $263238$.

При этом бросается в глаза тот факт, что показатели располагаются весьма нерегулярно - одни значения являются изолированными, другие собираются в достаточно длинные кластеры (например, отрезок длины $20$ — $[100419,100439]$).

Эти факты также поставили меня в тупик. Пожалуйста, подскажите книги или статьи, в которых можно было бы найти углубленное изложение теории функций суммирования цифр натуральных чисел (в имеющихся у меня учебниках по теории чисел данный вопрос рассматривается весьма поверхностно, в связи с элементарными признаками делимости).