Расстояние от точки до прямой

[u100]

Найти расстояние от точки до прямой, если известны координаты точки $D(x', y')$ и общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$.

Дано:
Прямая $a$ задана уравнением $Ax+By+C=0;$
$D(x',y');$

Найти: $d(D,a)$

Решаю:
Сначала нахожу координаты нормального вектора для заданной прямой.$ (A,B)$
Далее составляю каноническое уравнение прямой, перпендикулярной исходной. Перехожу к общему виду.
Решаю систему из двух уравнений прямых. Нахожу координаты точки их пересечения $(x'', y'')$
Вычисляю расстояние от точки D до точки пересечения прямых. $d=\sqrt{(x''-x')^2+(y''-y')^2}$

Цитата:

1) Вектор $n(A;B);$ - нормальный вектор прямой $a$
2) $\frac{x-x'}{A}=\frac{y-y'}{B}$
3) $B(x-x')-A(y-y')=0;$
$Bx-Ay+(Ay'-Bx')=0;$
4) Система из:
$Ax+By+C=0;$ и
$Bx-Ay+(Ay'-Bx')=0;$

Из системы:
$x''=x$
$y''=y$

Далее $d=\sqrt{(x''-x')^2+(y''-y')^2}$

Как это объединить в одну формулу? Возможно, такую http://ru.onlinemschool.com/math/librar ... y/p_line1/

-- 20.09.2013, 07:48 --

[gris]

Для стандартного уравнения прямой (плоскости) расстояние до точки определяется по готовой формуле (возможно, что она и приведена на том ресурсе, я не смотрел). Если Вас интересует вывод этой формулы, то можно действовать по-разному.

[VAL]

Погуглите "нормальное уравнение прямой".

[ewert]

u100 в сообщении #765629 писал(а):

Как это объединить в одну формулу? Возможно, такую

Конкретно "это" плохо объединяется. А "такая" формула естественным образом возникает как проекция вектора $\overrightarrow{DD''}$ на вектор нормали, где $D''$ -- неважно какая точка на прямой (если присмотреться, то в числителе стоит в точности скалярное произведение этого вектора на нормаль).