Найти последовательность?

[Борис Лейкин]

avzel.livejournal.com/9738.html

Цитата:

Задачка
Интересно, встречал ли кто-нибудь такую задачку: существует ли такая последовательность натуральных чисел f(0), f(1), ..., что каждое положительное рациональное число представляется ровно одним способом в виде f(n)/f(n-1) для некоторого положительного n? Если да, нужно определить такую последовательность явно. Ответ мне известен (я думаю), и сама задачка является вариацией на тему недавно увиденной (источника пока не сообщаю, поскольку получится подсказка). Update: под явным заданием последовательности я хочу понимать определение, не содержащее никакой рекурсии, т.е., все члены последовательности должны определяться одновременно с помощью простого правила.

[ИСН]

Что существует, это даже не вопрос. Берём, перенумеровываем все рациональные числа, которые больше 1, и понеслась: 1, 1, первое число, 1, второе число, 1, третье число... - все отношения f(n)/f(n-1) разные, все числа перебраны.
А явно - ммм... смотря что такое "явно".

[TOTAL]

Борис Лейкин писал(а):

под явным заданием последовательности я хочу понимать определение, не содержащее никакой рекурсии, т.е., все члены последовательности должны определяться одновременно с помощью простого правила

Как задать явно в указанном смысле последовательность всех рациональных чисел (без повторений)?

[незваный гость]

Борис Лейкин писал(а):

существует ли такая последовательность натуральных чисел f(0), f(1),

ИСН писал(а):

Берём, перенумеровываем все рациональные числа, которые больше 1, и понеслась: 1, 1, первое число, 1, второе число, 1, третье число... - все отношения f(n)/f(n-1) разные, все числа перебраны.

Но не все натуральные, не правда ли?

Добавлено спустя 57 секунд:

TOTAL писал(а):

Как задать явно в указанном смысле последовательность всех рациональных чисел (без повторений)?

Это-то легко

[TOTAL]

незваный гость писал(а):

TOTAL писал(а):

Как задать явно в указанном смысле последовательность всех рациональных чисел (без повторений)?

Это-то легко

Чему равно n-ое рациональное число?

[ИСН]

незваный гость писал(а):

Но не все натуральные, не правда ли?

Проклятье. Я урод и не умею читать. Ладно! Берём, перенумеровываем все (совсем все) положительные рациональные числа, $p_i\over q_i$, и понеслась: $1, q_1, p_1, 1, q_2, p_2 \dots$ Рациональные числа, которые получатся побочным образом раньше, чем положено по нашей нумерации ($q_i$ и $1\over p_i$) - вычёркиваем из нумерации нафиг. Если, подходя к какой-то паре, обнаруживаем угрозу повтора - делов-то, вместо $q_i, p_i$ пишем $2q_i, 2p_i$. Нельзя 2 - пробуем 3 и т.д., что-нибудь да можно.
То есть существование - это таки не вопрос.
Но от "явной" конструкции, whatever that means, я уполз ещё дальше, чем был.

[Борис Лейкин]

Вобщем первая мысль в том, чтобы выяснить связь между явными формулами для произвольных последовательностей $\{a(n)\}$ и $\{b(n)\}$, так?
таких что:
$a_n: a_1, a_2, a_3, a_4, \dots,$
$b_n: \dfrac{a_2}{a_1}, \dfrac{a_3}{a_2}, \dfrac{a_4}{a_3}, \dots,$
И если, например:
известна $a(n)=n$, то $b(n)=\dfrac{n+1}{n}$
и наоборот:
$b(n)=\dfrac{1}{n}$, то $a(n)=?$

[TOTAL]

Борис Лейкин писал(а):

и наоборот:
$b(n)=\dfrac{1}{n}$, то $a(n)=?$

$a(n)=\sqrt{3}\frac{\infty !}{(n-1)!}$

[Борис Лейкин]

TOTAL писал(а):

Борис Лейкин писал(а):

и наоборот:
$b(n)=\dfrac{1}{n}$, то $a(n)=?$

$a(n)=\sqrt{3}\frac{\infty !}{(n-1)!}$

Ерунда какая-то


Я надумал вот чего, пока не до конца .
Если $b(n)=\dfrac{1}{n}$ то $a(n)$ как-то связана с $\sum_{k=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{(k+1)}k$,
потому что разности элементов b(n) чё то типа этого короче
$1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,\dots$
$1,0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5,6,-6,\dots$
$1,-1,1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,11,-12,\dots$
Вобщем, братва, как типа явная формула для суммы такой последовательности запишется, просто скажите есть она или нет не надо её писать мне, чё то я ваще туплю нафиг $1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,11,-12,\dots$

[Борис Лейкин]

Борис Лейкин писал(а):

$b(n)=\dfrac{1}{n}$, то $a(n)=?$

Ай! A057979
$a(n)=\dfrac{(n+3)}{4}+\dfrac{(1-n)(-1)^n}{4}}$
Всё просто значит должно быть.

[Борис Лейкин]

Вот у этой последовательности существует явная формула или нет?
$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \frac{1}{5}, \frac{5}{1}, \frac{1}{6}, \frac{2}{5}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3}, \frac{5}{2}, \frac{6}{1}, \frac{1}{7}, \frac{3}{5}, \frac{5}{3}, \frac{7}{1}, \frac{1}{8}, \frac{2}{7}, \frac{4}{5}, \frac{5}{4}, \frac{7}{2}, \frac{8}{1}, \dots$
Соответствующая ей:
$1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,5,5,1,1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1,1,7,3,5,5,3,7,1,1,8,2,7,4,5,5,4,7,2,8,1,\dots$

Всё просто, нужно значит переставить элементы у первой последовательности чтобы была явная формула?


Заодно ещё такую ерунду напишу:
Суммирование и разность элементов последовательности аналогично дифференцированию и интегрированию у функций.
А вот такая операция частного элементов последовательности $\{a(n)\}, b(n)=\dfrac{a(n+1)}{a(n)}$ она чему аналогична?
(есть ли в этом смысл?) $f(x), g(x)=\dfrac{f(x+dx)}{f(x)}=1+\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx$ Это вроде функция принимающая бесконечно малые значения, чё-то там про нестандартный анализ чтоли?

[TOTAL]

Борис Лейкин писал(а):

Борис Лейкин писал(а):

$b(n)=\dfrac{1}{n}$, то $a(n)=?$

Ай! A057979
$a(n)=\dfrac{(n+3)}{4}+\dfrac{(1-n)(-1)^n}{4}}$
Всё просто значит должно быть.

Сами сможете проверить, верно ли равенство $b(n)=\dfrac{1}{n}=\dfrac{a(n+1)}{a(n)}$?

[maxal]

В том же ЖЖ приведено решение:
http://avzel.livejournal.com/12250.html