2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 19:22 
Задание: "Нарисуйте на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению $|z-1|=2|z+1|$ "
Я так понимаю, что $z=|z|(cos\varphi + i\cdot sin\varphi)$
А так - даже не знаю, с чего надо начать.

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 19:25 
Погуглите "окружность Аполлония".

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 19:44 
В общем, вот что я пока сделал:
$|z|=|x+i \cdot y| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|z-1|=|(x-1)+i \cdot y| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}$
$|z+1| = \sqrt{(x+1)^2+y^2}$
$(x-1)^2=4(x+1)^2$ - решил, получил $x_1=-3 , x_2=-\frac 1 3$

Дальше нужно найти $y$ и построить векторы?

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 19:46 
Manticore в сообщении #765143 писал(а):
$(x-1)^2=4(x+1)^2$
Это уравнение откуда взялось?

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 19:51 
$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2\sqrt{(x+1)^2+y^2}$
Возвёл в квадрат обе части.
Хотя кажется ошибку увидел сейчас.

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 19:52 
Аватара пользователя
Можно избавиться от модуля (через дробь) и выразить $z$ через $\varphi$.

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 20:31 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #765148 писал(а):
Можно избавиться от модуля (через дробь) и выразить $z$ через $\varphi$.

Не надо, в алгебраической форме проще. Надо только аккуратно преобразовать, избавившись от радикалов.

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 20:36 
Не понимаю, на каком основании можно избавиться от модуля...

Получил $3x^2+10x+3y^2+3=0$, если опять в знаках не ошибся. Можно решить относительно $x$.

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 20:42 
Аватара пользователя
Не надо решать относительно $x$. Выделите полный квадрат по $x$. Вы знаете уравнение окружности с произвольным центром?

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 20:53 
$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2= r^2$ ?

-- 18.09.2013, 21:07 --

Выделил полный квадрат вроде как:
$(x+ \frac 5 3)^2 + y^2 = 16$
Дальше нужно построить окружность.
Верно?

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 22:11 
Аватара пользователя
Верно. Как строить будете - циркулем? :wink: Для меня ваша запись и есть окружность, чего еще строить.
Да, проверьте правую часть, там дробь будет.

 
 
 
 Re: Комплексные числа, полярные координаты
Сообщение18.09.2013, 22:23 
Спасибо большое за помощь.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group