Комплексные числа, полярные координаты

[Manticore]

Задание: "Нарисуйте на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению $|z-1|=2|z+1|$ "
Я так понимаю, что $z=|z|(cos\varphi + i\cdot sin\varphi)$
А так - даже не знаю, с чего надо начать.

[nnosipov]

Погуглите "окружность Аполлония".

[Manticore]

В общем, вот что я пока сделал:
$|z|=|x+i \cdot y| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|z-1|=|(x-1)+i \cdot y| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}$
$|z+1| = \sqrt{(x+1)^2+y^2}$
$(x-1)^2=4(x+1)^2$ - решил, получил $x_1=-3 , x_2=-\frac 1 3$

Дальше нужно найти $y$ и построить векторы?

[nnosipov]

Manticore в сообщении #765143 писал(а):

$(x-1)^2=4(x+1)^2$

Это уравнение откуда взялось?

[Manticore]

$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2\sqrt{(x+1)^2+y^2}$
Возвёл в квадрат обе части.
Хотя кажется ошибку увидел сейчас.

[мат-ламер]

Можно избавиться от модуля (через дробь) и выразить $z$ через $\varphi$.

[provincialka]

мат-ламер в сообщении #765148 писал(а):

Можно избавиться от модуля (через дробь) и выразить $z$ через $\varphi$.

Не надо, в алгебраической форме проще. Надо только аккуратно преобразовать, избавившись от радикалов.

[Manticore]

Не понимаю, на каком основании можно избавиться от модуля...

Получил $3x^2+10x+3y^2+3=0$, если опять в знаках не ошибся. Можно решить относительно $x$.

[provincialka]

Не надо решать относительно $x$. Выделите полный квадрат по $x$. Вы знаете уравнение окружности с произвольным центром?

[Manticore]

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2= r^2$ ?

-- 18.09.2013, 21:07 --

Выделил полный квадрат вроде как:
$(x+ \frac 5 3)^2 + y^2 = 16$
Дальше нужно построить окружность.
Верно?

[provincialka]

Верно. Как строить будете - циркулем? Для меня ваша запись и есть окружность, чего еще строить.
Да, проверьте правую часть, там дробь будет.

[Manticore]

Спасибо большое за помощь.