Случайный процесс (пуассоновский)

[Marina555]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей.

Появление вспышки света на луче [0,\infty) - пуассоновский процесс с параметром \lambda. Каждое событие - это вспышка, которая освещает начало координат с интенсивностью, равной 1/\sqrt x, где случайная величина x - расстояние от точки вспышки до начала координат. Найти распределение числа вспышек, которые освещают начало координат с интенсивностью, большей или равной \alpha (\alpha>0).

Я думаю по этому поводу следующее.
Условие необходимой интенсивности можно записать так: x \leq 1/$\alpha$^2.
Тогда, выделяя из всех происходящих событий те, для которых x \leq 1/$\alpha$^2, получаем, что число вспышек, которые освещают начало координат с необходимой интенсивностью, распределено по пуассоновскому закону с параметром p \lambda, где p - вероятность попадания на промежуток [0, 1/$\alpha$^2]. Но как найти эту вероятность?

[незваный гость]

Вам $P\{\xi < x\}$ ничего не напоминает?

[PAV]

Вы немного неправильно сформулировали определение пуассоновского процесса.

[Marina555]

незваный гость
P($\xi$<x)=F_{\xi}(x).
P(0<$\xi$<1/\alpha^2)=F_{\xi}(1/\alpha^2)-F_{\xi}(0).

Мне непонятно, что из себя представляет в данном случае функция распределения. Это равномерное распределение будет или нет? И вообше, учитывая то, что промежуток сам по себе бесконечный, вероятность попадания на конечный промежуток разве не равна нулю?

PAV
Я так понимаю, что пуассоновский процесс - это, грубо говоря, счетчик.
N(t) - сколько событий (вспышек) произошло к моменту t - распределено по пуассоновскому закону. Времена между вспышками - по экспоненциальному с тем же параметром.
Это неправильно?

[PAV]

Вам не нужна никакая вероятность попадания на промежуток. Смотрите: то, что вспышки представляют собой пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$ означает (это определение), что если Вы фиксируете некоторый интервал длины $L$, то число вспышек на этом интервале распределено по закону Пуассона с параметром $\lmbda L$.

[Marina555]

Да, значит я неправильно поняла термин "интенсивность".
PAV, Вы имели ввиду, что параметр будет L \lambda? Tо есть в моем случае количество нужных вспышек распределено по пуассоновскому закону с параметром $\frac \lambda {\alpha^2}$?

[незваный гость]

Если я правильно понимаю:

Marina555 писал(а):

Появление вспышки света на луче [0,\infty) - пуассоновский процесс с параметром \lambda.

Т.е. мы имеем случайную величину $\xi$, распределенную по Пуассону.

Marina555 писал(а):

освещает начало координат с интенсивностью, равной 1/\sqrt x, где случайная величина x - расстояние от точки вспышки до начала координат

То есть, освещение в начале координат равно $1/\sqrt x$. (Заметьте, это уже не случайная величина, а функция, связывающая дистанцию и видимую интенсивность.)

Marina555 писал(а):

Тогда, выделяя из всех происходящих событий те, для которых x \leq 1/$\alpha$^2, получаем, что число вспышек,

То есть, у нас появилось второе событие $\mathcal A$: начало координат освещено с достаточной яркостью. Какова его вероятность? Вы правильно указали, но не вычислили ее:

Marina555 писал(а):

$P(\xi<x)=F_{\xi}(x)$

Я, правда, не понял, почему Вы исключили 0. Вам темно в эпицентре ядерного взрыва?

Итого

Marina555 писал(а):

Найти распределение числа вспышек, которые освещают начало координат с интенсивностью, большей или равной \alpha (\alpha>0).

— это условное событие $P(\xi < x | \mathcal A)$.

[PAV]

Marina555 писал(а):

Tо есть в моем случае количество нужных вспышек распределено по пуассоновскому закону с параметром $\frac \lambda {\alpha^2}$?

Да

[незваный гость]

Почему?!

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

Кажется, понял. Я неправильно прочитал условие, и поэтому мои сообщения, увы, неверны. Marina555, извините.

[Marina555]

Спасибо всем за поиощь!