Является ли факторкольцо полем?

[Alex_CAPS]

Доброго времени суток!
Мне необходимо определить, является ли факторкольцо $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[x]/(x^5+x^4+\bar1, x^4+x^2+\bar 1)$ полем?

И так. Я обладаю следующими сведениями:
Факторкольцом, или кольцом классов вычетов, называется гомоморфный образ кольца $R$ по идеалу $\bf{A}$.
Поле - целостное кольцо с единичным элементом $1 \neq 0$, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный.
Типичным способом построения поля из целостного кольца является присоединение частных или нахождение кольца классов вычетов по максимальному идеалу.

-- 15.09.2013, 23:28 --

Не очень увлечённые рассуждения приводят к тому, что $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[x]$ является целостным кольцом. И для проверки того, является ли факторкольцо полем, надо выяснить, является ли $(x^5+x^4+\bar 1, x^4+x^2+ \bar 1)$ максимальным идеалом.

[Joker_vD]

Во-первых, идеал $(x^5+x^4+\bar 1, x^4+x^2+ \bar 1)$ является главным — найдите, какой многочлен (один) его порождает. Во-вторых, проверьте этот многочлен на неприводимость.

[Alex_CAPS]

Для нахождения полинома, который порождает идеал, нашёл НОД:
НОД$(x^5+x^4+\bar 1, x^4+x^2+ \bar 1) = x^2+x+1 = p(x)$
Т.к. $p(0) \neq p(1) \neq 0$ - полином неприводим.
Всё верно?

[bot]

Alex_CAPS в сообщении #764526 писал(а):

$p(0) \neq p(1)$

Разве? Приводимость для квадратного трёхчлена что будет означать?

[Alex_CAPS]

bot в сообщении #764680 писал(а):

Alex_CAPS в сообщении #764526 писал(а):

$p(0) \neq p(1)$

Разве? Приводимость для квадратного трёхчлена что будет означать?

Извиняюсь, но я тут имел ввиду $p(0) \neq 0$ и $p(1) \neq 0$

[VAL]

Alex_CAPS в сообщении #764774 писал(а):

bot в сообщении #764680 писал(а):

Alex_CAPS в сообщении #764526 писал(а):

$p(0) \neq p(1)$

Разве? Приводимость для квадратного трёхчлена что будет означать?

Извиняюсь, но я тут имел ввиду $p(0) \neq 0$ и $p(1) \neq 0$

Так правильно.
Значит, идеал, по которому факторизуется исходное кольцо, порожден неприводимым полиномом. А, значит, ответ на вопрос задачи...

[nnosipov]

Alex_CAPS в сообщении #764774 писал(а):

Извиняюсь, но я тут имел ввиду $p(0) \neq 0$ и $p(1) \neq 0$

Я в этом месте обычно придираюсь и прошу объяснить, каким образом из отсутствия корней в поле вытекает неприводимость над этим полем.

[Alex_CAPS]

VAL в сообщении #764787 писал(а):

Так правильно.
Значит, идеал, по которому факторизуется исходное кольцо, порожден неприводимым полиномом. А, значит, ответ на вопрос задачи...

А значит идеал не содержится ни в каком другом идеале(?), т. е. является максимальным. А из этого и целостности $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[x]$ следует, что факторкольцо является полем.

Но честно говоря, я не осознал каким образом из порождения идеала неприводимым полиномом следует, что он максимальный (если это вообще так)

[VAL]

Alex_CAPS в сообщении #764848 писал(а):

VAL в сообщении #764787 писал(а):

Так правильно.
Значит, идеал, по которому факторизуется исходное кольцо, порожден неприводимым полиномом. А, значит, ответ на вопрос задачи...

А значит идеал не содержится ни в каком другом идеале(?),

Ну, в единичном-то содержится... Но это не мешает его максимальности.

Цитата:

т. е. является максимальным. А из этого и целостности $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[x]$ следует, что факторкольцо является полем.

Но честно говоря, я не осознал каким образом из порождения идеала неприводимым полиномом следует, что он максимальный (если это вообще так)

Если он содержался в каком-то другом идеале (отличном от данного и единичного), то многочлен, порождающий этот идеал, делил бы $x^2+x+1$, что противоречит его неприводимости.

[Alex_CAPS]

Большое всем спасибо. По данной теме у меня вопросов больше нет.