Сходимость последовательности

[Manticore]

Собственно, даны последовательности
$a_n= 1 + \frac 1 2 + ... + \frac 1 {2^n}$
$b_n=1 + \frac 1 2 + ... + \frac 1 n$
$c_n=1 + \frac 1 {2^2} + ... + \frac 1 {n^2}$

Я знаю, что $b_n$ расходится (использовал доказательство Орема), $a_n$ - геометрическая прогрессия, потому сходится, $c_n$ по идее должна расходиться, ведь по сути можно доказывать так же, как и $a_n$, но я не уверен. Не очень понятно, как разобраться с этим.

[mihailm]

Проясняет суть тут разве что интегральный признак,
если нужна сходимость расходимость, замените квадраты на произведения последовательных чисел

[SpBTimes]

$c_n$ сходится. Интегралами оценивать небось нельзя? Тогда по-старинке.
$|\frac{1}{(n)^2} + ... + \frac{1}{(n + (n - 1))^2}| \leqslant \frac{1}{n}$.
Тогда $c_n = 1 +\frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{n^2} \leqslant 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ...$
Оценка происходит так. Первый член остается. Затем $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} \leqslant \frac{1}{2}$ итп. $c_n$ монотонна и ограничена, значит есть предел

[Manticore]

Спасибо! Всё стало понятно.

[ewert]

Manticore в сообщении #764826 писал(а):

$c_n=1 + \frac 1 {2^2} + ... + \frac 1 {n^2}$

Безо всяких признаков доказывается в два с половиной шага. Во-первых, оценивается сверху через $1+\frac1{2\cdot1}+\frac1{3\cdot2}+\frac1{4\cdot3}+\ldots+\frac1{n\cdot(n-1)}$. Во-вторых, каждая дробь оаскладывается в разность, после чего почти всё сокращается.