Получается, в псевдоевклидовой геометрии длина вектора легко может оказаться числом комплексным.
Это не совсем так. Длина вектора не может оказаться
произвольным комплексным числом. Она может оказаться только чисто действительным или
чисто мнимым числом (или нулём). В результате, её можно рассматривать как принадлежащую к одному из трёх случаев: действительные длины, мнимые длины, нулевые длины (последний случай не тривиален, в отличие от евклидовой геометрии). А обычная евклидова геометрия - вырожденный вариант такой псевдоевклидовой, в котором мнимых и нулевых длин нет (кроме нулевого вектора).
А каков физический, интуитивный смысл такой длины?
Для этого надо почитать всё-таки книжки по СТО. Все направления в псевдоевклидовой геометрии делятся на три класса, и тип длины вектора зависит от его направления. Если изображать псевдоевклидову плоскость на чертеже, то это будут такие направления:
- под 45°;
- более вертикальные, чем под 45°;
- более горизонтальные, чем под 45°.
Для
-мерного пространства соответствующие секторы становятся конусами и внешними частями конусов (подробности можно узнать из аналитической геометрии, и из линейной алгебры - теории квадратичных форм).
В физике, в связи с пространственно-временной интерпретацией, принята другая терминология: светоподобные (или световые) направления, времениподобные направления, пространственноподобные направления. Длину называют (релятивистским) интервалом. Конусы называют световыми конусами, а их внутренности - конусом прошлого, конусом будущего, внешняя часть - абсолютно удалённая (или причинно несвязанная) область. Эти термины физически однозначны, даже если математически знаки выбраны "наоборот".
С обычной геометрией всё просто: длина вектора
означает, что эталонный единичный отрезок можно уложить вдоль этого вектора ровно пять раз. А как понять длину вектора, выраженную с применением числа
?
Здесь есть два единичных отрезка: более вертикальный, чем под 45°, и более горизонтальный, чем под 45°.
Никаким поворотом нельзя превратить один в другой. Если у вас любой отрезок имеет наклон (к горизонтали) больше 45°, то как его ни поворачивай, у него наклон всегда будет оставаться больше 45°, и наоборот, если наклон меньше 45°, то при любых поворотах он будет меньше. При этом, "действительные" векторы (с действительными длинами) выражаются через один эталонный единичный отрезок (который можно совместить с ними по направлению), а "мнимые" - через другой.
Сравнить длину двух таких единичных отрезков можно, построив квадрат, с условием, что его диагонали пойдут под 45°.
Векторы, идущие ровно под 45°, все имеют нулевую длину. Это значит, что их можно переводить один в другой поворотом. Такой поворот для них меняет их длину, и всё. Если выбрать любой из них эталонным, то его можно уложить вдоль другого и 1 раз, и сколько угодно раз (любое положительное действительное число).
А для отрицательного
вариант один
Ну, если строго подходить, то из
тоже два корня:
и
Но смысла в этом нет. И вообще говоря, смысла знака корня из
времениподобного вектора тоже нет. Разница между "будущим" и "прошлым" возникает только в случае одной оси времени, и по геометрическим причинам, а не по алгебраическим.
-- 09.08.2013 19:34:08 --Вот как-то так крутятся мыслишки.
Вот только
Если то же самое написать про время, то получится, что не
а
Для корня однозначно берётся положительное значение, а потом оно уже скармливается в интерпретацию модуля.