Карамельное уравнение

[Ktina]

Решить уравнение

$$\overline{abcd}_{10}=\overline{xxx}_{\overline{cd}}$$

А если по-русски, то четырёхзначное (в десятичной записи) число $\overline{abcd}$ записывается тремя одинаковыми цифрами в системе счисления с основанием $\overline{cd}$
Найти это число.

[Yadryara]

Это число 2013

Обоснования не требовалось, но, если угодно, дам.

[hippie]

Есть 2 таких числа: 2013 и 8327. В обоих случаях $x=11.$

[Yadryara]

Да, второе решение я тоже нашёл. Но думаю, что Ktina имела в виду именно 2013, поскольку это номер текущего года.

Я решил пойти дальше:

Решить уравнение

$$\overline{abcdf}_{10}=\overline{xxx}_{\overline{df}}$$

Пятизначное (в десятичной записи) число$\overline{abcdf}$ записывается тремя одинаковыми цифрами в системе счисления с основанием $\overline{df}$

Нашёл 11 решений:

\begin{array}{rrr} abcdf & df & x \\ \\ 10842 & 42 & 6 \\ 36978 & 78 & 6 \\ 37648 & 48 & 16 \\ 44363 & 63 & 11 \\ 47544 & 44 & 24 \\ 64365 & 65 & 15 \\ 66077 & 77 & 11 \\ 88753 & 53 & 31 \\ 90846 & 46 & 42 \\ 99252 & 52 & 36 \\ 99864 & 64 & 24 \\ \end{array}

Интересным представляется вопрос о существовании каких-либо закономерностей. А, может быть, они уже много лет, как известны.