Загадочная функция

[Dave]

Пусть $\mathbb N_0$ - множество неотрицательных целых чисел. Существует ли функция $f \colon \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \to \mathbb R$ такая, что $f(1,1)=1$ и для любых $m, n, k \in \mathbb N_0$ справедливо тождество:

$$f(m+n,k)=\sum_{i,\,j\,\in\,\mathbb N_0} {\binom {k} {k-i,\,k-j,\,i+j-k}f(m,i)\,f(n,j)}\, ,$$

где

$$\binom {a+b+c} {a,\ b,\ c}=\begin{cases} \dfrac {(a+b+c)!} {a!\ b!\ c!},& (a \geqslant 0) \land (b \geqslant 0) \land (c \geqslant 0) \\ \; 0,& (a<0) \lor (b<0) \lor (c<0) \end{cases}$$

?

[maxal]

Граничные условия как-то криво заданы. Например, каковы значения при нулевых аргументах?

[Dave]

Вместо граничных условий есть лишняя степень свободы в рекуррентных соотношениях!