Ортогональные преобразования

[djuuj]

Цитата из "Аналитической геометрии" Делоне, Райкова:
В пространстве каждое ортогональное преобразование первого рода есть произведение поворота вокруг некоторой оси на параллельный перенос вдоль этой оси; каждое же преобразование второго рода есть произведение поворота вокруг оси на параллельный перенос вдоль этой оси, и еще на отражение в плоскости, перпендикулярной к этой же оси; при этом в обоих случаях как поворот, так и перенос могут сводиться к тождественному преобразованию.
Под преобразованиями первого и второго рода понимаются сохраняющие и обращающие ориентации реперов соответственно.
Интересует доказательство. Где можно почитать? Или хотя бы какие теоремы следует использовать?

[ewert]

djuuj в сообщении #764233 писал(а):

Интересует доказательство.

Ну в той книжке, наверное, и надо его искать -- там оно наверняка изложено (не знаю, правда, насколько лирично). Если же по существу, то ортогональное преобразование -- это которое задаётся ортогональной матрицей (если отстроиться от сдвигов, от которых всегда можно отстроиться). А у ортогональной матрицы может быть лишь два детерминанта: то ли плюс, то ли минус единица.

[djuuj]

Вместо доказательства в этой книжке написано:
Доказательства всех этих предложений проще всего получить чисто
геометрическим путем; мы их приводить не будем.

ewert в сообщении #764236 писал(а):

Если же по существу, то ортогональное преобразование -- это которое задаётся ортогональной матрицей (если отстроиться от сдвигов, от которых всегда можно отстроиться). А у ортогональной матрицы может быть лишь два детерминанта: то ли плюс, то ли минус единица.

Не понимаю как это поможет доказать. На всякий случай подчеркну: утверждается, что сдвиг можно делать вдоль оси вращения.

[Munin]

djuuj в сообщении #764238 писал(а):

Доказательства всех этих предложений проще всего получить чисто геометрическим путем

:−)
Не знаю, где там "проще", а сами предложения - чисто из линала, где формулируются, кстати, для любой размерности (разложение ортогонального преобразования в повороты и отражения: для $2n\,\,({}+1)$ измерений будет $n$ поворотов или отражений; сами повороты будут во взаимно-ортогональных 2-плоскостях; всё это смежная тема с жордановой нормальной формой).

[djuuj]

Munin в сообщении #764266 писал(а):

для $2n\,\,({}+1)$ измерений будет $n$ поворотов или отражений;

А при чем тут сдвиги? Ещё раз:

djuuj в сообщении #764238 писал(а):

На всякий случай подчеркну: утверждается, что сдвиг можно делать вдоль оси вращения.

Это я и хочу доказать.

[Munin]

djuuj в сообщении #764272 писал(а):

А при чем тут сдвиги?

А при том, что всё это про ортогональные преобразования - относится к векторному пространству, то есть подразумевается заранее, что $O\to O.$ А если от этого условия отказаться, то получается ещё композиция с одним параллельным переносом.

djuuj в сообщении #764272 писал(а):

Это я и хочу доказать.

Ну откуда ж я знал, что именно это.

В общем, надо взять композицию произвольного сдвига и поворотов-отражений вокруг точки. Дальше вы этот произвольный сдвиг раскладываете в составляющие вдоль и поперёк оси. Тот, что поперёк оси, в композиции с поворотом-отражением даёт всего лишь выбор другой оси поворота или плоскости отражения. Остаётся тот, который вдоль.

Впрочем, это как раз мало для чего нужно, кроме как "чисто геометрически всё себе представлять". Сдвиг на произвольный вектор ничем не хуже.

[djuuj]

Munin в сообщении #764281 писал(а):

Тот, что поперёк оси, в композиции с поворотом-отражением даёт всего лишь выбор другой оси поворота или плоскости отражения.

Не понял. Что значит "даёт выбор другой оси поворота"? Поворот вокруг оси $+$ сдвиг перпендикулярно этой оси можно осуществить одним поворотом вокруг некоторой оси? А эта новая ось будет параллельна старой?

[ИСН]

То и значит. Да и да. (И угол поворота у неё будет такой же.)

[djuuj]

ИСН в сообщении #764288 писал(а):

То и значит. Да и да. (И угол поворота у неё будет такой же.)

А, ну да. Это же сводится к случаю плоскости.
Ок, а как доказать, что при этом ещё отражение можно делать в плоскости, перпендикулярной оси вращения?

[bot]

Munin в сообщении #764266 писал(а):

всё это смежная тема с жордановой нормальной формой)

В смысле, что матрица приводится к некоторому (другому) каноническому виду?

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим аффинное отображение $F(x)=Ax+b$, где $A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ортогональный оператор, у которого не все собственные числа равны $\pm 1$.

Лемма. Существует и притом единственная прямая $l$ такая, что $F(l)=l$.

[ewert]

djuuj в сообщении #764290 писал(а):

Ок, а как доказать, что при этом ещё отражение можно делать в плоскости, перпендикулярной оси вращения?

Никак. Если и отражение, и поворот действительно присутствуют, то отражение происходит или в плоскости поворота, или вдоль оси поворота, и это разные случаи.

[Munin]

bot в сообщении #764305 писал(а):

В смысле, что матрица приводится к некоторому (другому) каноническому виду?

Да. Этот вид:
- для комплексных (унитарных) матриц - диагональная матрица, коэффициенты которой - единичны по модулю;
- для вещественных ортогональных матриц - блочно-диагональная матрица, блоки которой - либо

$$\begin{pmatrix}\pm 1\end{pmatrix}$$

либо

$$\begin{pmatrix}\cos\varphi_i&\mp\sin\varphi_i\\\sin\varphi_i&\pm\cos\varphi_i\end{pmatrix}$$

(в последнем случае от всех нижних знаков можно избавиться).
Гельфанд § 16 п. 5 теорема 5.
Кострикин-Манин ч. 2 § 7 п. 4 (теорема).
Гантмахер гл. IX § 13 ф-ла (123).
Ильин-Позняк гл. 5 § 9 п. 2 (утверждение без доказательства, и с опечаткой).

[bot]

(Оффтоп)

Спасибо Кэп. Я только спросил об этом ли речь, а само это мне известно.

[Munin]

(Оффтоп)

Я рад, что вам известно (я этого не понял по вашим формулировкам). Ну, надеюсь, djuuj тоже пригодится.