Найти разность

[nnosipov]

Натуральные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2$. Найдите $y-z$.

Нет ли здесь какого-нибудь трюка, который быстро приводит к цели?

[gris]

Я пока только увидел, что это натуральное число, кратное 4

[Sonic86]

Проверьте, пожалуйста:

Пусть
$y-z=u$
$y+z=v$
Тогда
$(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2 \Rightarrow u(xv+1)=(x+u)^2$
Поскольку $x,y,z\geqslant 1$, то $xy+xz+1\geqslant 1$, значит $u=y-z\geqslant 0$.
$u(xv+1)=(x+u)^2 \Leftrightarrow $
$v=\frac{1}{x}\left(\frac{(x+u)^2}{u}-1\right) \Leftrightarrow$
$\frac{(x+u)^2-u}{xu}\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow$
$xu\mid (x+u)^2-u$
Пусть $d=\gcd(x,u), x=dx_1, u=du_1, \gcd(x_1,u_1)=1$, тогда $d\mid u_1$, откуда $d=1$, т.е. $\gcd(x,u)=1$.
Также $u\mid x^2$. Если $(\exists p)p\mid u$, то $p\mid x$ и $p\mid \gcd(x,u)$, что невозможно.
Значит $(\forall p)p\nmid u$, т.е. $u=1$.

Например, $(1,2,1)$ - решение.

[nnosipov]

gris в сообщении #764014 писал(а):

Я пока только увидел, что это натуральное число, кратное 4

Вы про разность $y-z$? Увы, на 4 она никак делиться не может.

-- Вс сен 15, 2013 13:54:53 --

Sonic86, спасибо, посмотрю не торопясь.

[ewert]

nnosipov в сообщении #764011 писал(а):

Натуральные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2$.

Вроде бы общее решение: $x=2k-1,\ y=k+1,\ z=k,\ k\in\mathbb N$.

(там всё потихонечку и уверенно так делится, делится...)

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #764019 писал(а):

$xu\mid (x+u)^2-u$
Пусть $d=\gcd(x,u), x=dx_1, u=du_1, gcd(x_1,u_1)=1$, тогда $d\mid u_1$, откуда $d=1$, т.е. $\gcd(x,u)=1$.
Также $u\mid x^2$. Если $(\exists p)p\mid u$, то $p\mid x$ и $p\mid \gcd(x,u)$, что невозможно.
Значит $(\forall p)p\nmid u$, т.е. $u=1$.

Вот этот кусок поподробнее бы. На первый взгляд эти рассуждения годятся и для целых $x$, $u$. Но в этом случае равенство $u=\pm 1$ уже неверно. Так что где-то в рассуждении Вы должны воспользоваться натуральностью $x$ и $u$. Где?

-- Вс сен 15, 2013 14:07:02 --

ewert в сообщении #764024 писал(а):

Вроде бы общее решение: $x=2k+1,\ y=k+1,\ z=k,\ k\in\mathbb N$.

Верно. Доказательство напишите?

-- Вс сен 15, 2013 14:09:14 --

ewert в сообщении #764024 писал(а):

(там всё потихонечку и уверенно так делится, делится...)

Вот у меня пока два дня лесом получается. Возможно, чего-то не вижу ...

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #764025 писал(а):

Вот этот кусок поподробнее бы. На первый взгляд эти рассуждения годятся и для целых $x$, $u$. Но в этом случае равенство $u=\pm 1$ уже неверно. Так что где-то в рассуждении Вы должны воспользоваться натуральностью $x$ и $u$. Где?

Думаю, это место

Sonic86 в сообщении #764019 писал(а):

Значит $(\forall p)p\nmid u$, т.е. $u=1$.

дополнить так:
$(\forall p)p\nmid u$, значит $u\in\{-1,0,1\}$, а т.к. $u\geqslant 1$, то $u=1$.
Также положительность $x,u$ нужна, когда я на них делил и для утверждения $d\geqslant 1$.
А, я же не доказал, что $u\neq 0$ еще. Тогда этот случай рассмотрим отдельно:
Для $u(xv+1)=(x+u)^2$ и $u=0$ получаем $x=0$, т.е. $(0,0,0)$ - тоже решение, но не в натуральных числах, значит его исключаем.

[ewert]

nnosipov в сообщении #764025 писал(а):

Верно. Доказательство напишите?

Не совсем верно -- там была опечатка.

Всё получается в лоб. Во-первых, $y>z$. Во-вторых, тогда $x$ делится на $y-z$, т.е. $x=n(y-z)$; тогда $n(y-z)(y+z)+1=(n+1)^2(y-z)$. В-третьих, тогда $y-z=1$ и, следовательно, $y+z=n+2$. Вместе с $y-z=1$ это даёт $y=\frac{n+3}2,\ z=\frac{n+1}2$, откуда $n=2k-1$.

[nnosipov]

Sonic86, равенство $d=\gcd{(x,u)}=1$ для целых чисел не докажешь --- компьютер выдаёт что попало. А для натуральных оно действительно верно (но, как мне думается, только потому, что $u=1$).

-- Вс сен 15, 2013 14:24:24 --

ewert в сообщении #764035 писал(а):

Всё получается в лоб. Во-первых, $y>z$. Во-вторых, тогда $x$ делится на $y-z$ ...

Этот аргумент мне уже знаком :) На самом деле очевидно, что $x^2$ делится на $y-z$. Откуда следует, что $x$ делится на $y-z$?

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #764037 писал(а):

Sonic86, равенство $d=\gcd{(x,u)}=1$ для целых чисел не докажешь --- компьютер выдаёт что попало. А для натуральных оно действительно верно (но, как мне думается, только потому, что $u=1$).

Ааа, понял, действительно, дальше $d\mid u_1$ уйти нельзя.
Тогда надо еще подумать.

-- Вс сен 15, 2013 08:03:40 --

upd: Ха, имеет место серия решений:
$x=d, u=d^2\Rightarrow xu\mid (x+u)^2-u$, т.к. $d^3\mid (d^2+d)^2-d^2$
Она же дает серию решений исходного уравнения:
$x=d, y=z+d^2$:
$d^2(2dz+d^3+1)=(d+d^2)^2$
$2dz+d^3+1=(1+d)^2$
$z=\frac{2+d-d^2}{2}$ - всегда целое.
Но для $z\geqslant 1$ нужно $d=1$. Т.е. я когда ухожу от $z$, я теряю ограничение $z\geqslant 1$, в результате приобретаю лишние решения.
Похоже, что задача сложная.

(Оффтоп)

сколько раз зарекался решать диофантовы уравнения...

Кроме того, у меня $xu\mid (x+u)^2-u, x,u\geqslant 1$ равносильно свелось к $u=d^2, x=dx_1, \gcd(d,x_1)=1$ и $dx_1\mid (x_1+d)^2-1$, а последнее равносильно симметричной системе $d\mid x_1^2-1, x_1\mid d^2-1$.

[ewert]

Хорошо, пойдём другим путём, как говорил маленький Ленин. Пусть $y-z=u$ и, соответственно, $y+z=u+2z$. Рассмотрим $u(x(u+2z)+1)=(x+u)^2$ как квадратное уравнение относительно икса:

$x^2-(u^2+2zu-2u)x+(u^2-u)=0$.

Если $u>1$ и у этого уравнения вообще есть целые корни $a,b$, то они оба положительны; при этом

$ab=u^2-u$,
$a+b=u^2+2zu-2u$,

откуда $-(a-1)(b-1)=2zu-u-1$. Левая часть неположительна (при положительных корнях), правая положительна при $u>1$, поэтому $u=1$.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #764040 писал(а):

Кроме того, у меня $xu\mid (x+u)^2-u, x,u\geqslant 1$ равносильно свелось к $u=d^2, x=dx_1, \gcd(d,x_1)=1$ и $dx_1\mid (x_1+d)^2-1$, а последнее равносильно симметричной системе $d\mid x_1^2-1, x_1\mid d^2-1$.

Всё верно! Вырулили на стандартную задачу, дальше понятно. Можно, кстати, обойтись без рассмотрения $\gcd{(x,u)}$, но Ваш вариант мне определённо нравится. Спасибо!

-- Вс сен 15, 2013 17:49:02 --

ewert в сообщении #764073 писал(а):

Хорошо, пойдём другим путём, как говорил маленький Ленин. ...

А вот это просто бомба Потрясён. Не зря у меня было подозрение, что тут есть "левый" заход.

Эх, такая хорошая задача была ... Спасибо всем ещё раз!