максимальное значение функции

[maxal]

Задачка из fido7.ru.math

Найдите максимальное значение функции:

$$S(a,b,c)=\frac{bc}{a^{2}+3}+\frac{ca}{b^{2}+3}+\frac{ab}{c^{2}+3}$$

при условиях:
$a+b+c=3$
$a,b,c>0$

[arqady]

maxal писал(а):

Задачка из fido7.ru.math

Найдите максимальное значение функции:

$$S(a,b,c)=\frac{bc}{a^{2}+3}+\frac{ca}{b^{2}+3}+\frac{ab}{c^{2}+3}$$

при условиях:
$a+b+c=3$
$a,b,c>0$

Вот некрасивое решение:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=161457

[maxal]

А вот мое "некрасивое" решение.
Посмотрим, может кто-то красивое найдет...

[juna]

Мне все-таки кажется, что искомая задача будет эквивалентна нахождению максимума более простой функции:
$f(a,b,c)=ab+bc+ac-abc$ при $a+b+c=3,a>0,b>0,c>0$. Но рассуждения, приводящие к этому, не очень корректны.

[Руст]

Я так же попробовал решить, но ничего красивого не нашёл.
Пусть a>=b>=c, тогда при фиксированном с получаем, что максимум достигается при a=b=x>=1.
Соответственно дифференцировав по х (несколько сложнее) приходим к уравнению:
$f'(x)=-\frac 34 \ \frac{(x-1)^2(x^2+3x-6)(x^2-3x+4)}{(x^2+3)^2(x^2-3x+3)^2}=0.$
Рушением является $a=b=\frac{\sqrt{33}-3}{2},c=6-\sqrt{33}, \ f_{max}=\frac{11\sqrt{33}-45}{24}.$

[juna]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Мне все-таки кажется, что искомая задача будет эквивалентна нахождению максимума более простой функции:
$f(a,b,c)=ab+bc+ac-abc$ при $a+b+c=3,a>0,b>0,c>0$. Но рассуждения, приводящие к этому, не очень корректны.

А я наврал. Максимум указанной функции достигается при $a=0,b=c=\frac 3 2$.
При этом $S(1,1,1)=S(0,1.5,1.5)=0.75$ - значит что-то есть посередине.
Пусть эта добавка $x$. Тогда приходим к необходимости поиска максимума функции:
$\frac{(1.5-x)(1.5-x)}{(2x)^2+3}+\frac{(1.5-x)2x}{(1.5-x)^2+3}+\frac{2x(1.5-x)}{(1.5-x)^2+3}$