супремум суммы дарбу = нижний интеграл дарбу

[102beta]

Непонятно что есть супремум суммы дарбу, если супремум принято рассматривать для множеств или функций, а сумма дарбу - площадь.

Далее,

$\mathop {\sup }\limits_{no\_\Lambda } {\sigma _*}(D,f,\Lambda ) \le \mathop {\inf }\limits_{no\_\Lambda } {\sigma ^*}(D,f,\Lambda )$



Я отметил красным инфимум и супремум, но видимо неправильно, так как утверждение не выполняется...

[provincialka]

Ну, не совсем площадь (в м$.^2$?), скорее число. Кстати, может быть и отрицательным. И, конечно, у одной суммы Дарбу супремум брать бессмысленно. Нужно рассмотреть множество таких сумм для разных (всевозможных) разбиений.

Красным тоже отметили неправильно, их (супремумы/инфимумы) вообще трудно нарисовать. Для "хорошей" функции - это сам интеграл.

[102beta]

provincialka в сообщении #762481 писал(а):

Ну, не совсем площадь (в м$.^2$?), скорее число. Кстати, может быть и отрицательным. И, конечно, у одной суммы Дарбу супремум брать бессмысленно. Нужно рассмотреть множество таких сумм для разных (всевозможных) разбиений.

Красным тоже отметили неправильно, их (супремумы/инфимумы) вообще трудно нарисовать. Для "хорошей" функции - это сам интеграл.

А что есть хорошая функция?

[provincialka]

Интегрируемая. В частности, непрерывная, как у вас.

Вы берете зелененькую фигурку и начинаете измельчать разбиение. Прямоугольники становятся тоньше и, соответственно, выше. То число, к которому стремится "площадь" зеленой фигурки и есть супремум нижних сумм. Для серых делаете аналогично. Только при измельчении серые прямоугольники становятся меньше.

Но при всех этих действиях зеленая фигурка оказывается вложенной в серую, на этом и основано доказательство вашего свойства.

[ewert]

102beta в сообщении #762475 писал(а):

Непонятно что есть супремум суммы дарбу, если супремум принято рассматривать для множеств или функций, а сумма дарбу - площадь.

(может, и продублирую, тады пардон) Непонятно попросту потому, что тут орфографическая ошибка. Не "супремум суммы",а "супремум сумм". И множество сумм Дарбу по всем возможным разбиениям -- это уж какое-никакое, но что множество -- то точно, тут даже и к бабке не ходи.

[102beta]

ewert в сообщении #762528 писал(а):

102beta в сообщении #762475 писал(а):

Непонятно что есть супремум суммы дарбу, если супремум принято рассматривать для множеств или функций, а сумма дарбу - площадь.

(может, и продублирую, тады пардон) Непонятно попросту потому, что тут орфографическая ошибка. Не "супремум суммы",а "супремум сумм". И множество сумм Дарбу по всем возможным разбиениям -- это уж какое-никакое, но что множество -- то точно, тут даже и к бабке не ходи.

Все возможные разбиения - это разбиение функции на 3 части, на 4 и т. д. до разбиения на бесконечность частей?

-- 11.09.2013, 20:32 --

А дается где-нибудь точное определение супремума нижних сумм дарбу?
Для интегрируемой функции супремум нижних сумм дарбу = нижней сумме дарбу при разбиении функции на бесконечность частей, я правильно понял?

[_hum_]

причем не обязательно на одинаковые по размеру интервалы, см.
wiki/Riemann_integral:A sequence of Riemann sums

UPD. Нет, рассматриваются конечные разбиения.

102beta в сообщении #762930 писал(а):

А дается где-нибудь точное определение супремума нижних сумм дарбу?

102beta, вы можете вообще дать определение понятию супремума для произвольного множества?

[ewert]

102beta в сообщении #762930 писал(а):

Все возможные разбиения - это разбиение функции на 3 части, на 4 и т. д. до разбиения на бесконечность частей?

В частности (но не вплоть до бесконечности, конечно). Однако у Вас (в стартовом посте) проблема явно не с этим, а с русским языком. Ну или у Вашего начальника. Действительно, не бывает "супремума суммы", бывает лишь "супремум сумм по некоторому множеству". И когда пишут (для краткости) что-либо типа $\sup\sum$ -- всегда подразумевают фигурные скобочки вокруг суммы, и само слово "сумма" обязательно произносят во множественном числе (если, конечно, грамотно читают).

[102beta]

_hum_ в сообщении #762932 писал(а):

причем не обязательно на одинаковые по размеру интервалы, см.
wiki/Riemann_integral:A sequence of Riemann sums

UPD. Нет, рассматриваются конечные разбиения.

102beta в сообщении #762930 писал(а):

А дается где-нибудь точное определение супремума нижних сумм дарбу?

102beta, вы можете вообще дать определение понятию супремума для произвольного множества?

Супремум мн-ва X - а такое, что для любого х из Х x<=a
Супремум нижних сумм Дарбу - нижняя сумма Дарбу при конечном разбиении? А конечное разбиение функции - разбиение функции на части, каждая из которых имеет длину, стремящуюся к нулю? Кстати, что такое ранг дробления?

[provincialka]

Неверно. Вы дали определение верхней грани, но не точной верхней грани (супремума). Соответственно, второе высказывание также неверно (надо заменить супремум на верхнюю грань).

Супремум сумм Дарбу - это просто их супремум, он не обязан быть чем-нибудь еще. Но про него можно что-то доказывать.

Кстати, заголовок темы у вас тоже странный.

[102beta]

provincialka в сообщении #763164 писал(а):

Неверно. Вы дали определение верхней грани, но не точной верхней грани (супремума). Соответственно, второе высказывание также неверно (надо заменить супремум на верхнюю грань).

Супремум сумм Дарбу - это просто их супремум, он не обязан быть чем-нибудь еще. Но про него можно что-то доказывать.

Кстати, заголовок темы у вас тоже странный.

Супремум - это наименьшая верхняя грань.
Непонятно, почему второе утверждение неверно, ведь существует единственная сумма дарбу при конечном разбиении, супремум тоже единственен, верхних граней может быть много.
Вообще, есть определение супремума сумм дарбу?

[provincialka]

Нет определения супремума сумм Дарбу, есть определение просто супремума числового множества, с которым вы, похоже, плохо знакомы.

супремум числового множества совсем не обязательно принадлежит ему. Например $\sup (0; 1) =1$.

имеется в виду интервал.

[_hum_]

102beta

102beta в сообщении #763154 писал(а):

Супремум мн-ва X - а такое, что для любого х из Х x<=a

Не совсем так. Супремум - это наименьшее из чисел, обладающее свойством "быть больше любого элемента множества".

А вы знаете разницу между максимальным элементом числового множества и супремумом?

Упражнение. Найдите супремум и максимум (если таковой существует) для множества:
1) $X = [0,1]$
2) $X = [0,1)$
3) $X = \{1/n \,\,| n \in \mathbb{N}\}$
4) $X = \{2m + 3n \,\,|\, m, n \in \mathbb{N}, m + n = 4\}$

102beta в сообщении #763243 писал(а):

Вообще, есть определение супремума сумм дарбу?

$\sup_{\tau} s_\tau$ - это короткая запись для $\sup X$, где $X = \{s_\tau | \tau - \text{любое конечное разбиение отрезка } [a,b]\} $

[bot]

Нет необходимости отдельно определять супремум каких либо сумм. Есть определение супремума множества. Вот некоторые суммы и кучкуются в множества, чтобы определился их супремум.

[arseniiv]

($\TeX$.)

_hum_ в сообщении #763251 писал(а):

X = \{1/n \,\,| n \in \mathbb{N}\}
X = \{2m + 3n \,\,|\, m, n \in \mathbb{N}, m + n = 4\}

О господи, использовали бы \mid!
А если он не нравится, \mathrel| (это оно, вроде, и есть).