Преобразование матрицы к каноническому виду

[Mikle1990]

Пожалуйста, помогите преобразовать матрицу к каноническому виду.

$$G=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad$$

Я пытался в Интернете найти информацию о том, как это сделать. Нашёл, но так и не смог разобраться.

Дополнительная информация:
1. Единственные ненулевые элементы матрицы в ее каноническом виде – это единицы. Если они присутствуют, то располагаются на главной диагонали.
2. (из методички): Данную матрицу можно преобразовать к каноническому виду путём суммирования строк (по модулю 2) и перестановки строк местами.

Я пробовал суммировать строки и менять их местами. После 4-ёх подобных действий у меня в матрицы стало всего на один "0" больше.

[nnosipov]

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) для систем линейных уравнений знаете? Вот им и воспользуйтесь.

[Mikle1990]

nnosipov, я этот метод вообще не понимаю
И у меня есть сомнения относительно того, можно ли в данном случае использовать Метод Гаусса.

-- Чт сен 12, 2013 13:26:55 --

У меня получилась вот такая матрица:

$$G=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad$$

Она является канонической? Вроде бы нет. Как не переставляй, всё-равно будет оставаться одинаковое количество единиц и нулей.

[provincialka]

А какой это предмет? Почему операции проводятся по модулю 2? Значит, это не обычная линейная алгебра.

[Mikle1990]

provincialka, это предмет "Методы защиты от ошибок в компьютерных сетях".

Не думаю, что меня стоит направлять в раздел Computer Science.
В нём я решаю задачи, а к вам я забежал лишь для того, чтобы вы помогли мне преобразовать матрицу.

[provincialka]

Ну, судя по названию, предмет не чисто математический. Еще бы понять какая именно математика там используется... И почему матрица не квадратная.

[mihailm]

В первую очередь надо выяснить, что такое канонический вид прямоугольной матрицы в этих "Методах защиты от ошибок"

[Mikle1990]

Вопрос в том, знаете ли вы как преобразовать данную матрицу к каноническому виду или нет.

А что касается остальных вещей, то это здесь врядли вам поможет.
Но всё таки..
Речь идёт о циклическом коде.
Длина кода $n=8$ (это кол-во столбцов матрицы)
Образующий полином $g(x)=x^5+x^4+x+1$ (в двоичном виде: $110011$)
Количество строк $k=3$ (длина кода минус степень полинома, т.е. $8-5$)

Строим образующую матрицу $G_{x,n}$
Первая строка матрицы это образующий полином, дополненный нулями слева.
Вторая и треть строка матрицы - это сдвиг первой строки на позицию влево.

$$G=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad$$

mihailm в сообщении #763184 писал(а):

В первую очередь надо выяснить, что такое канонический вид прямоугольной матрицы в этих "Методах защиты от ошибок"

В учебнике про это ни слова не сказано. А в методичке дана похожая матрица и написано: "Полученную матрицу можно преобразовать к каноническому виду путём суммирования строк (по модулю 2) и перестановки строк местами".

Многие из вас очень привыкли, что речь всегда идёт о десятичной системы счисления. Здесь же речь идёт о двоичной.

(Оффтоп)

$1+1=0$ $1+0=1$ $0+0=0$ $1\cdot1=1$ $1\cdot0=0$ $0\cdot0=0$

Единственное, что мне приходит на ум это "Транспонировать матрицу, а потом, путём сложения строк, привести её к каноническому виду".

Отсюда вопрос. В обычной математики, если транспонировать матрицу, а потом складывать её строки, то будет ли она эквивалентна исходной матрице? Т.е. , учитывая, что я потом опять её транспонирую, фактически я буду складывать столбцы матрицы. Можно ли это делать, не потеряв при этом эквивалентность?

[mihailm]

Mikle1990 в сообщении #763191 писал(а):

Вопрос в том, знаете ли вы как преобразовать данную матрицу к каноническому виду или нет...

Здесь всё знают, кроме того что такое канонический вид, скажите нам что это такое

Mikle1990 в сообщении #763191 писал(а):

...
Многие из вас очень привыкли, что речь всегда идёт о десятичной системы счисления. Здесь же речь идёт о двоичной.

(Оффтоп)

$1+1=0$ $1+0=1$ $0+0=0$ $1\cdot1=1$ $1\cdot0=0$ $0\cdot0=0$

Это что шутка? (Проф математикам пофиг в какой системе счисления работать)
А во-вторых, системы счисления тут не причем

[Mikle1990]

Цитата:

Здесь всё знают, кроме того что такое канонический вид, скажите нам что это такое

Из Википедии:
"Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат".

Из Интернета:
1. Запомните, что канонический вид матрицы не требует, чтобы на всей главной диагонали стояли единицы. Суть определения заключается в том, что единственные ненулевые элементы матрицы в ее каноническом виде – это единицы. Если они присутствуют, то располагаются на главной диагонали. При этом их количество может варьироваться от нуля до количества строчек в матрице.
2. Не забывайте, что элементарные преобразования позволяют любую матрицу привести к каноническому виду. Самая большая сложность – интуитивно найти наиболее простую последовательность цепочек действий и не ошибиться в вычислениях.

(Оффтоп)

Взято отсюда: http://www.kakprosto.ru/kak-67972-kak-p ... skomu-vidu

[bot]

Канонических видов матрицы в математике - пруд пруди. Различных смыслов слова "привести" к каноническому виду - тоже. Без точного определения - того самого, которое нужно Вам, не обойтись. В интернете искать ответ бесполезно - ищите его там, где был задан вопрос.

[tavrik]

offtop
1+1=10
наверное, все таки.

[provincialka]

tavrik в сообщении #763557 писал(а):

offtop
1+1=10
наверное, все таки.

нет, тут алгебра булева, значений только 2.

[bot]

Нет, 1+1=0

[Mikle1990]

bot, если Вы говорите, что канонические виды бывают разные, то почему вот здесь http://www.kakprosto.ru/kak-67972-kak-p ... skomu-vidu говорится только об одном?)