Отображение множеств

[lulbec]

Как-то здесь уже задавался такой вопрос, но ни к какому ответу не пришли - обсуждение быстро сошло на нет.
В общем, "Докажите, что всякое отображение множеств $ f: A \longrightarrow B$ можно представить в виде композиции $gh$, где $g$ - инъекция, $ h$ - сюръекция".

Пришёл только к этому:
$h: A \longrightarrow X$
$g: X \longrightarrow B$

$f(a) = g(h(a))=gh(a)=b$ Но это всё из определения композиции, собственно.
Если $h$ - не сюръекция, то $h(a_1)=h(a_2) \Leftrightarrow a_1=a_2$ и получается, что $|B| \ge$ $|A|$
Если $g$ - не инъекция, то $g(x_1)=g(x_2)=b$
Скорее всего, эти не нужно для решения. Но вдруг выяснится, что я и понятия путаю.
План решения вообще не представляю.

[provincialka]

А вы уверены, что именно такое условие? Может, наоборот?
В таком виде, как у вас, в качестве $h$ можно взять саму $f$, только действующую не в $B$, а в $f(A)$. А $g$ - просто тождественное. Наверное все-таки условия надо переставить.

Определения инъективности и сюръективности совершенно неверные.

[lulbec]

Но если переставить, то получится $f(a) = hg(a)$, а разве это верно?

И с сюръекцией и инъекцией. Для инъективности: разным $x$ сопоставляются разные $y$, поэтому вроде верно:

lulbec в сообщении #762944 писал(а):

$h(a_1)=h(a_2) \Leftrightarrow a_1=a_2$

А сюръекция - образ из $Y$ должен иметь хотя бы один прообраз в $X$.

[provincialka]

Для инъективности теперь верно. Раньше вы почему-то называли это "не сюръективностью". Разве эти два свойства противоположны?
Сюръективность тоже теперь верно, это отображение "на".

Переставлять местами буквы $g$ и $h$ совершенно бессмысленно, пока им не придано какое-то значение. Я имела в виду, что более интересная задача возникнет, если считать внутреннюю функцию (у вас - $h$) - инъекцией, а внешнюю - сюръекцией.

[Mysterious Light]

Это не интересная задача.
Сначала вкладываем $A$ в $A+B$, затем сюръективно отображаем $B$ на $B$, а $A$ в $f(A)$ в соответствии с $f$.
Разложение неоднозначно, потому что можно $A$ вложить во что-то более мощное, чем $A+B$, да и сюрьективное отображение этого множества (точнее, точек, которые не из $A$) можно брать любое.

[provincialka]

Ну да. Если автор вопроса поймет, что здесь написано.
Собственно, оба варианта довольно бессмысленны. Зачем это все надо? Игра ума?