Тождественное отображение.

[Manticore]

Здравствуйте. Разбираюсь с логикой и дискретной математикой, пока совсем не выходит, чувствую, что нужна помощь.
Задача. Пусть $f:A\longrightarrow B$ и $g:B\longrightarrow A$ - отображения, и $g\cdot f=1_A$
Докажите, что $f$ - инъекция, а $g$ - сюръекция.

Во-первых, запутался в понятиях. Тождественное отображение - функция переводит аргумент в себя.
Как это связать с "обратностью"? $f \cdot f^{-1}=1_{A}$, но если $g$ - обратная функция для $f$, то они взаимно однозначны, и это биекция?
И если $g$ - обратная к $f$, то $g = f^{-1}$ и $f(a)=b \Leftrightarrow g(b)=a$
Далее: пусть $|A|=n$, $|B|=m$
Если $f$ - инъективна, то $n \le m$. Если при этом $g$ тоже инъективна, то для $g$ $n \ge m$, что возможно только если $n=m$
Если же $g$ - сюръективна, то для ${g}$ $m \ge n$, что верно, учитывая инъективность $f$.

Чувствую, что написал полный бред, тем более, что у меня получается и обратное: $f$ - сюръективна, $g$ - инъективна.
Вообще мало что понимаю, хотя прочитал много всего на тему.

[Someone]

Manticore в сообщении #762523 писал(а):

$f \cdot f^{-1}=1_{A}$, но если $g$ - обратная функция для $f$, то они взаимно однозначны, и это биекция?

Нет. Для взаимно обратных отображений $f\colon A\to B$ и $g\colon B\to A$ должны выполняться два условия: $gf=1_A$ и $fg=1_B$. А одно условие $gf=1_A$ означает только, что отображение $f$ является левым обратным для $g$, а отображение $g$ — правым обратным для $f$.

[Manticore]

Someone в сообщении #762527 писал(а):

$gf=1_A$ означает только, что отображение $f$ является левым обратным для $g$, а отображение $g$ — правым обратным для $f$.

Но ведь сказано про тождественное отображение. Или это никак не связано?

[provincialka]

Не связано. Ведь тождественным является результат композиции, в которой составляющие функции "потерялись".
Попробуйте порассуждать от противного. Например, когда отображение - не инъекция? Что нарушено?

[Manticore]

provincialka в сообщении #762537 писал(а):

Например, когда отображение - не инъекция? Что нарушено?

Если $f$ - не инъекция, тогда $a_1, a_2 \in A$ и $f(a_1)=f(a_2)=b \in B$ Тогда $g(f(a_1))=g(b)$ и $g(f(a_2))=g(b)
А с обратимыми функциями я путаюсь: возможен ли вариант $g \cdot 1_A = f$?

[provincialka]

Manticore в сообщении #762547 писал(а):

Если $f$ - не инъекция, тогда $a_1, a_2 \in A$ и $f(a_1)=f(a_2)=b \in B$ Тогда $g(f(a_1))=g(b)$ и $g(f(a_2))=g(b)

И что дальше? Вы поняли?

Manticore в сообщении #762547 писал(а):

А с обратимыми функциями я путаюсь: возможен ли вариант $g \cdot 1_A = f$?

Левая часть вообще не имеет смысла, так как $g$ применяется к элементам $B$, а не $A$.

-- 10.09.2013, 19:58 --

Да здесь все просто. $f$ и $g$ похожи на взаимно однозначные, взаимно обратные, если сузить $B$ до $f(A)$. Просто в $B$ могут оказаться "лишние" элементы, не соответствующие никаким $a$ в смысле отображения $f$.

Пример. Пусть $A$ - множество студенческих групп, $B$ - множество их студентов. Можно составить отображение $f$ группа-> ee староста и $g$ студент -> его группа. Попробуйте составить композиции в том и в другом порядке.

[Manticore]

provincialka в сообщении #762555 писал(а):

И что дальше? Вы поняли?

Кажется, получается $g(f(a_1))=1_A(a_1)=a_1$ и так же для $a_2$. То есть $a_1=a_2$, следовательно, предположение, что это не инъекция - неверное.
Если это верно, то понял.

[provincialka]

Молодец. Теперь также исследуйте второе утверждение.

[Manticore]

$g(f(a_n))=g(b_n)=1_A(a_n)=a_n \Rightarrow$ для каждого $b$ есть прообраз из $A$, значит, это сюръекция?

[provincialka]

Буквы перепутаны. Отображение $g$ действует откуда и куда?