Уравнение отрезанной экспоненты

[sopor]

Рассмотрим уравнение $1+x+\frac {x^2}{2}+...+\frac {x^n}{n!}=0$ при нечетном $n$.
1. Докажите, что оно имеет единственный вещественный корень $g(n)$.
2. Найдите \lim g(n)/n на бесконечности.
3. Найдите как можно более точную асимптотику последовательности $g (n)$

[gris]

1. На словах: производная левой части для $n$ совпадает с левой частью для $n-1$, то есть по индукции минимум производной для чётного $n$ находится в нуле левой части для $n-1$, а значение его положительно, так как к нулю добавляется чётная степень. То есть для чётных $n$ левая часть положительна, и для нечётных $n$ функция строго возрастает. В нуле она положительна, а достаточно далеко в отрицательной области — отрицательна. То есть существует единственный корень.

[Руст]

Задача интересная.
Пусть $f_n(x)=1+x+...+\frac{x^n}{n!}, \phi_n(x)=e^x-f_n(x).$
Во первых $f_{n+1}(g(n))=f_n(g(n)+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{g(n)^{n+1}}{(n+1)!}<f_{n+1}(0)=1$. Oтсюда $|g(n)|<((n+1)!)^{1/(n+1)}<\frac{n+2}{e}$.
$\phi_n(g(n))=\frac{g(n)^{n+1}}{(n+1)!}C_n, C_n=1+\frac{g(n)}{n+2}+\frac{g(n)^2}{(n+2)(n+3)}+..., \frac{e}{e+1}<C_n<\frac{e^2}{e^2-1}.$
Так как $f_n(g(n))=0$ $\phi_n(g(n))=e^{g(n)}=\frac{g(n)^{n+1}}{(n+1)!}C_n$.
Извлекаем кореннь $n+1$ - щй степени и обозначим $y=\frac{-g(n)}{n+1}$. Тогда
$e^{-y}=ey(1+\frac{\alpha}{n}+O(n^{-2}))$. Где в скобках $\frac{n+1}{e}C_n^{1/(n+1)}((n+1)!)^{-1/(n+1)$ и соответствующее разложение вычислимо.
Найдя корень уравнения $e^{-y}=ey$. Вычисляется разложение
$g(n)=-(n+1)y(1+\frac{c_1}{n}+\frac{c_2}{n^2}+...)$.
Точнее
$g(n)=-y_0(n+1)-\frac{y_0}{y_0+1}(\ln (n)+\ln(2\pi(1+e^{-1})))+O(\ln^2n/n).$

[sopor]

Руст в сообщении #757666 писал(а):

Точнее
$g(n)=-y_0(n+1)-\frac{y_0}{y_0+1}(\ln (n)+\ln(2\pi(1+e^{-1})))+O(\ln^2n/n).$

Объясните пожалуйста, что это за $y_0$ и откуда оно взялось

[Руст]

$y_0$ - корень уравнения

$$e^{-y}=ey$$

и предел $y_0=-\lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{n}$.

[g______d]

Кстати говоря, $f_n(x)=\frac{e^x}{n!}\int\limits_{x}^{+\infty}t^n e^{-t}\, dt$, откуда единственность корня сразу можно увидеть (да и асимптотику проще считать). Много интересного можно узнать по ключевым словам "Szegö curve".

-- 30.08.2013, 22:23 --

Задача, кстати, отсюда

http://www.mathsoc.spb.ru/konkurs/contest12.pdf

[sopor]

(Оффтоп)

Да, конкурс уже прошёл, вот я и решил подкинуть сюда чего-нибудь новенького

[maxal]

Руст в сообщении #759055 писал(а):

$y_0$ - корень уравнения

$$e^{-y}=ey$$

и предел $y_0=-\lim_{n\to \infty}\frac{x_n}{n}$.

Его же можно выразить через значение W-функции Ламберта: $y_0 = W(e^{-1})$

> evalf( LambertW(exp(-1)) );
0.2784645428