эквивалентные нормы в пространствах Соболева

[Oleg Zubelevich]

Следующее утверждение удобно использовать при построении различных эквивалентных норм в пространствах Соболева и доказательства неравенств типа Пуанкаре и Фридрихса.
Это приглашение выкладывать сюда подобные абстрактные теоремы, которые позволили бы упростить изложение теории пространств Соболева.

Пусть $(X,\|\cdot\|)$ -- банахово пространство. Через $E\subseteq X$ обозначим некоторое линейное пространство. Заданы линейные операторы $A_1,\ldots, A_n:E\to X$.

Предположим, что пространство $E$ является рефлексивным банаховым пространством относительно нормы

$$\|u\|_E=\|u\|+\sum_{i=1}^n\|A_iu\|\qquad (*)$$

и вложение $E\subset X$ компактно.

Утв. 1 Предположим, что существует набор линейных функций $f_1,\ldots, f_m\in E'$ такой , что если $x\ne 0,\quad x\in\bigcap_{i=1}^n\ker A_i$ то для некоторого $r$ верно неравенство $f_r(x)\ne 0$.
Тогда норма

$$|x|=\sum_{k=1}^m|f_k(x)|+\sum_{i=1}^n\|A_ix\|$$

эквивалентная норме (*)

Доказательство слишком просто что бы его писать.

Подразумевается следующее: $E=H^{s,p}(M),\quad X=L^p(M),\quad p>1$ и $A_i$ -- операторы частного дифференцирования, $M\subset\mathbb{R}^N$ -- ограниченная область с хорошей границей.