Теорема о влюблённых последовательностях

[gris]

То есть предельная точка может принадлежать вместе с некоторой окрестностью нескольким кубам. Ну и что. Бесконечности хватит на всех.
Я вначале просто покрыл все предельные точки эпсилон окрестностями, а потом выделил конечное покрытие. Тут же строим эпсилон-пополам покрытие, а потом выравниваем последовательности. Но меня почему-то смутило пересечение множеств покрытия. И я начал мудрить с замыканиями. Сейчас не соображу, допустимо ли пересечение множеств покрытия

[g______d]

g______d в сообщении #761677 писал(а):

множество $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$ конечно.

Я оговорился: имелось в виду множество членов последовательностей, содержащихся в $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$.

[gris]

Ну сам механизм перенумерации, как сказал ewert, и ежам понятен, то есть достаточно очевиден. Тогда теорема справедлива для множества, которое можно засунуть в компакт, чтобы применять теорему о конечном покрытии и даже не устраивать конкретных разрезаний.

[g______d]

В общем, да; достаточно взять последовательность конечных покрытий $X$ открытыми множествами с диаметрами, стремящимися к нулю.

[Dave]

g______d, а если в $E_k$ какому-то элементу одной последовательности не нашлось пары из другой, что Вы будете с ним делать?
А если сам элемент является предельной точкой? Он тогда не принадлежит ни одному из Ваших $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$.

[g______d]

Dave в сообщении #761781 писал(а):

g______d, а если в $E_k$ какому-то элементу одной последовательности не нашлось пары из другой, что Вы будете с ним делать?

В каждом кубе, принадлежащем $E_k$, бесконечно много членов и той, и другой последовательности. Из каждой из них берем элемент с минимальным номером.

Dave в сообщении #761781 писал(а):

А если сам элемент является предельной точкой? Он тогда не принадлежит ни одному из Ваших $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$.

Мы всегда берем пары элементов текущего куба с минимальными номерами. Они могут и не попасть в $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$, но, если в кубе имеются элементы $\cup E_k\setminus \cup E_{k+1}$, то рано или поздно мы до них дойдем, причем до этого момента не покинем текущий куб.

Заметим, кстати, что элементы $x_n$, $y_n$ обязательно будут выбраны не позже рассмотрения множества $E_n$. Здесь есть неточность: я неявно предполагал, что вне $\cup E_0$ нет других элементов последовательностей (впрочем, если и есть, то только конечное число).

[Dave]

ОК, а но ведь в задаче требуется перенумеровать только одну последовательность, а не обе. Почему никто не произнёс магические слова?
"Ежу понятно" - это не они .

[gris]

Ежупонятно было про конечное число предельных точек. Конечно, это простейший случай, но там всё равно — одну последовательность перенумеровывать или обе. Я представлял себе случай, когда предельные точки заполняют весь шар и не мог с ним совладать.

[Dave]

Ну пусть тогда g______d ответит, раз он смог совладать с бесконечным. А я продолжу задачу. Если участники не уморились, конечно .

[g______d]

Dave в сообщении #761816 писал(а):

ОК, а но ведь в задаче требуется перенумеровать только одну .

Если последовательность сходится, то предел не зависит от перестановки членов (поскольку определение предела можно переписать в виде "при любом $\varepsilon>0$ множество $n$, таких что $|x_n-a|>\varepsilon$, конечно").

Пусть в результате нашей процедуры получились последовательности $\{x_{\pi(n)}\}$, $\{y_{\pi'(n)}\}$, $|x_{\pi(n)}-y_{\pi'(n)}|\to 0$, где $\pi$, $\pi'$ – перестановки. Тогда то же верно для последовательностей $\{x_n\}$, $\{y_{\pi^{-1}(\pi'(n))}\}$.

[Dave]

Пусть теперь разрешено перенумеровывать не одну, а обе последовательности.

Задача. Докажите, что существует функция $\mathsf {ZAGS}$, ставящая каждой ограниченной последовательности в $\mathbb R^3$ её перестановку, такая, что если "пропустить" через эту функцию две последовательности с совпадающими множествами предельных точек, то последовательности на выходе будут неограниченно сближаться.

Примечание. Функция во время своей работы над одной последовательностью другую последовательность не видит. Разрешается пользоваться аксиомой выбора, а botу - даже леммой Цорна.

[g______d]

Dave в сообщении #761832 писал(а):

Шутка . Хотя ошибка есть.

Да, там нужно $\pi'(\pi^{-1}(n))$, а я написал наоборот. Или еще есть?

-- 09.09.2013, 00:44 --

Dave в сообщении #761832 писал(а):

ставящая каждой ограниченной последовательности

Именно в такой формулировке, т. е. не важно, какой константой ограниченной?

[Dave]

g______d в сообщении #761834 писал(а):

Да, там нужно $\pi'(\pi^{-1}(n))$, а я написал наоборот. Или еще есть?

Больше нет.

g______d в сообщении #761834 писал(а):

Именно в такой формулировке, т. е. не важно, какой константой ограниченной?

Не важно, какой.