Найти отношение площадей

[GAE]

Точки $E, F$ и $G, H$, отмеченные на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, делят эти стороны на три равные части: $AE = EF = FB$, $BG = GH = HC$. Точки пересечения отрезков $AG, AH$ и $BE, BF$ образуют четырёхугольник $KLMN$, причём две его вершины лежат на биссектрисе угла $ABC$. Найти отношение площадей четырёхугольника $KLMN$ и треугольника $ABC$.

[gris]

Мысли-то есть, да как-то боязно их тут озвучивать. Вы сами задачу-то придумали?

[GAE]

Да, сам придумал, а что? И почему мысли озвучивать боязно?

[gris]

Вы здесь человек новый, а обычно публикуя олимпиадную задачу, ТС либо говорит, откуда она взялась, либо, что он сам её придумал. А то бывает выложат задачу с какой-нибудь олимпиады, её решат, а потом судебные процессы начинаются. Вот так и подумаешь, а стоит ли связываться. (Тем более, если решить не можешь )

[GAE]

gris, в данном случае можете смело связываться - задачу действительно придумал я сам. У Вас какие-то идеи были, может изложите их?

[GAE]

Прошу прощения, в исходный текст вкралась коварная опечатка. Вот откорректированное условие:
Точки $E, F$ и $G, H$, отмеченные на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, делят эти стороны на три равные части: $AE = EF = FB$, $BG = GH = HC$. Точки пересечения отрезков $AG, AH$ и $CE, CF$ образуют четырёхугольник $KLMN$, причём две его вершины лежат на биссектрисе угла $ABC$. Найти отношение площадей четырёхугольника $KLMN$ и треугольника $ABC$.

[nnosipov]

GAE в сообщении #762229 писал(а):

Точки $E, F$ и $G, H$, отмеченные на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, делят эти стороны на три равные части: $AE = EF = FB$, $BG = GH = HC$. Точки пересечения отрезков $AG, AH$ и $CE, CF$ образуют четырёхугольник $KLMN$, причём две его вершины лежат на биссектрисе угла $ABC$. Найти отношение площадей четырёхугольника $KLMN$ и треугольника $ABC$.

Вообще-то такое бывает только для равнобедренного треугольника $ABC$ (с вершиной $B$). Ответ: $9/70$.

[GAE]

Совершенно верно! Браво, nnosipov!

[nnosipov]

GAE, спасибо, конечно, но загляните в тему http://dxdy.ru/topic75858.html там раскрываются секреты этого "великого искусства"

[ewert]

А при чём тут вообще биссектриса? Допустим, основание $AC$ равно единице и высота, опущенная из вершины $B$ -- тоже единица (можно, конечно, ввести для них специальные буковки, которые потом сократятся, но какой смысл, если и так очевидно, что они сократятся). Пусть $L$ -- верхняя вершина четырёхугольника, $N$ -- нижняя, $K$ и $M$ -- левая и правая.

Тогда очевидно, что $L$ поднято над основанием на уровень $\frac23\cdot\frac34=\frac12$ и $N$ -- на уровень $\frac13\cdot\frac35=\frac15$. Чуть менее, но тоже очевидно, что $M$ лежит на уровне $\frac13\cdot\frac67=\frac27$; естественно, это же относится и к $K$. Тогда по горизонтали точки $K$ и $L$ разнесены (согласно треугольнику $ALC$) на расстояние $2\cdot(\frac12-\frac27)=\frac37$. Итого площадь четырёхугольника есть $\frac12\cdot\frac37\cdot(\frac12-\frac15)=\frac12\cdot\frac9{70}$.

[nnosipov]

ewert в сообщении #763781 писал(а):

А при чём тут вообще биссектриса?

Я тоже этого не понял. Ведь конфигурация-то аффинная.