Вычисление группы Галуа многочлена

[Konstantce]

Существуют ли какие-либо алгоритмы для быстрого вычисления групп Галуа?
Скажем, как доказать, что группа Галуа многочлена $X^4+4X^2+2$ изоморфна $Z_4$, а группа Галуа многочлена $X^4+3X^3-3X+3$ изоморфна диэдральной группе $D_4$?

[VAL]

Konstantce в сообщении #761388 писал(а):

Существуют ли какие-либо алгоритмы для быстрого вычисления групп Галуа?

Только для полиномов небольших степеней.
Насколько я в курсе, лучшие в этом вопросе мат. пакеты справляются с полиномами 12-й степени.

Цитата:

Скажем, как доказать, что группа Галуа многочлена $X^4+4X^2+2$ изоморфна $Z_4$

В этом частном случае все совсем просто.
Достаточно показать, что простое алгебраическое расширение $\mathbb Q(\alpha)$, где $\alpha$ - любой корень полинома $X^4+4X^2+2$, является полем разложения этого полинома.
А это просто. Возьмем, например, $\alpha=i\sqrt{2+\sqrt2}$. Тогда остальные корни - $-\alpha, \frac{\alpha^2+2}{\alpha}, -\frac{\alpha^2+2}{\alpha}$.

[nnosipov]

VAL в сообщении #761489 писал(а):

Достаточно показать, что простое алгебраическое расширение $\mathbb Q(\alpha)$, где $\alpha$ - любой корень полинома $X^4+4X^2+2$, является полем разложения этого полинома.

Не совсем достаточно. Например, для многочлена $X^4-10X^2+1$ это тоже есть, но группа Галуа у него другая. Придётся ещё с корнями немного повозиться.

[VAL]

nnosipov в сообщении #761520 писал(а):

VAL в сообщении #761489 писал(а):

Достаточно показать, что простое алгебраическое расширение $\mathbb Q(\alpha)$, где $\alpha$ - любой корень полинома $X^4+4X^2+2$, является полем разложения этого полинома.

Не совсем достаточно. Например, для многочлена $X^4-10X^2+1$ это тоже есть, но группа Галуа у него другая. Придётся ещё с корнями немного повозиться.

Да, погорячился

[Sonic86]

Konstantce в сообщении #761388 писал(а):

Скажем, как доказать, что ... группа Галуа многочлена $X^4+3X^3-3X+3$ изоморфна диэдральной группе $D_4$?

Интуитивно так: если хотим доказать, что для заданного неприводимого многочлена $f(x), \deg f=n$ его группа Галуа равна $G$, то можно построить многочлен $P(x_1,...,x_n)$ с группой автоморфизмов $G(P)=G$ и многочлен $Q(x_1,...,x_n)$ с группой автоморфизмов $G(Q)=N$, где $N$ - наибольшая нетривиальная нормальная подгруппа $G$, отличная от $G$. Затем, вычислить $P(\theta_1,...,\theta_n)$ и доказать, что $P(\theta_1,...,\theta_n)\in\mathbb{Q}$, и вычислить $Q(\theta_1,...,\theta_n)$ и доказать, что $Q(\theta_1,...,\theta_n)\not\in\mathbb{Q}$, здесь $\theta_j$ - корни $f(x)$, их, видимо, нужно уже знать (Вольфрам их находит).
Только я плохо пока в этом разбираюсь, могу наврать и мой способ может быть неоптимальный.
Вообще, можно литературу посмотреть: Постников Теория Галуа, Кострикин 3-й том, ван дер Варден Алгебра, Артин Теория Галуа. Там, например, используются редукции по модулю $p$.

[VAL]

Sonic86 в сообщении #761593 писал(а):

Konstantce в сообщении #761388 писал(а):

Скажем, как доказать, что ... группа Галуа многочлена $X^4+3X^3-3X+3$ изоморфна диэдральной группе $D_4$?

Интуитивно так: если хотим доказать, что для заданного неприводимого многочлена $f(x), \deg f=n$ его группа Галуа равна $G$, то можно построить многочлен $P(x_1,...,x_n)$ с группой автоморфизмов $G(P)=G$ и многочлен $Q(x_1,...,x_n)$ с группой автоморфизмов $G(Q)=N$, где $N$ - наибольшая нетривиальная нормальная подгруппа $G$, отличная от $G$. Затем, вычислить $P(\theta_1,...,\theta_n)$ и доказать, что $P(\theta_1,...,\theta_n)\in\mathbb{Q}$, и вычислить $Q(\theta_1,...,\theta_n)$ и доказать, что $Q(\theta_1,...,\theta_n)\not\in\mathbb{Q}$ здесь $\theta_j$ - корни $f(x)$

Не думаю, что ТС обрадуется такому совету
Полагаю, лучше стартовать сразу с теории уравнений 4-й степени. Сделать замену $x=y-\frac34$, искать кубическую резольвенту и т.д.

Цитата:

их, видимо, нужно уже знать (Вольфрам их находит).

Ну это-то не проблема (как, кстати, и нахождение самой группы Галуа с помощью мат. пакета ).
$y_1=\frac14 (\sqrt{-3}+\sqrt{30+2\sqrt{-3}})$
$y_2=\frac14 (\sqrt{-3}-\sqrt{30+2\sqrt{-3}})$
$y_3=\frac14 (-\sqrt{-3}+\sqrt{30-2\sqrt{-3}})$
$y_4=\frac14 (-\sqrt{-3}-\sqrt{30-2\sqrt{-3}})$