Вопрос по группам

[temp]

Может глупость спрашиваю, так-что не ругайтесь, пожалуйста. Если в определении группы, заменить требование существования обратного элемента, на требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы? Тогда единичный элемент должен получаться как результат умножения, то есть предполагается наличие обратного. Или это не предполагает обратный элемент для каждого элемента группы? Еще раз извиняюсь, если сморозил глупость.

[RIP]

такое не прокатит хотя бы по следующей причине:
из условия разложимости не следует, что для каждогоэлемента найдется предсталение вида e=a*a^{-1}

[Capella]

temp писал(а):

Может глупость спрашиваю, так-что не ругайтесь, пожалуйста. Если в определении группы, заменить требование существования обратного элемента, на требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы? Тогда единичный элемент должен получаться как результат умножения, то есть предполагается наличие обратного. Или это не предполагает обратный элемент для каждого элемента группы? Еще раз извиняюсь, если сморозил глупость.

Kazhdaja gruppa dolzhna imet' neitral'nyi otnositel'no operazij gruppy element, kotoryi mozhno poluchit', lish umnozhiv kakoj-libo element na svoj obratnyi. Poetomu nalichie etogo elementa podrazumevaetsya v gruppe.

[temp]

А есть какие-нибудь примеры множеств, чтобы был единичный элемент, соблюдались вышеперечисленные условия, но множество группой не являлось.

[Genrih]

temp писал(а):

А есть какие-нибудь примеры множеств, чтобы был единичный элемент, соблюдались вышеперечисленные условия, но множество группой не являлось.

Так если единица есть и под вышеперечисленными Вы имеете ввиду:

• ассоциативность введенной в множестве операции
• сущестование обратного для каждого елемента

то все аксиомы группы "на лицо".

[Freude]

Если в определении группы, заменить требование существования обратного элемента, на требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы? Тогда единичный элемент должен получаться как результат умножения, то есть предполагается наличие обратного.

Мне не очевидно. Докажите.

[PAV]

Возможно, обратный тогда будет не у любого элемента группы. Возьмите, например, множество всех квадратных матриц заданного размера n x n. Те из них, которые обратимы, дают единичную, а те, которые вырожденные - нет. Я верно понял вопрос?

[x0rr]

всё равно тогда все матрицы nxn будут группой относительно сложения

[lofar]

Множество $M$ c заданной на нем бинарной операцией $ называется моноидом если
1) $\forall x,y,z\in M\colon (xy)z = x(yz)$ --- ассоциативность.
2) $\exists e\in M\:\forall x\in M\colon ex=xe = x$ --- наличие двусторонней единицы.

Очевидно, что любой элемент моноида $x$ может быть представлен в виде $x = ab$, где $a$ и $b$ некотрые элементы из $M$ (достаточно взять $a=e$ и $b=x$).

Существуют моноиды не являющиеся группами. Например множество натуралных чисел с нулем $\mathbb N_0$ есть моноид, но не группа относительно обычного сложения.

Если же к условиям 1) и 2) добавить
3)$\forall x,y\in M\:\exists z\in M\colon x=zy$ --- левое деление,
то получившийся набор аксиом будет эквивалентен обычной аксиоматике групп.

[Capella]

to lofar

Не совсем понятна Ваша формулировка: Вы вводите понятие моноида относительно операции умножения, но множество натуральных чисел $ \mathbb N_0 $ рассматриваете относительно уже другой операции - сложения. Хотя группа должна быть определена какой-либо одной операцией (будь то сложение, умножение, поворот, отображение и т.д.) (не путать с кольцом (по моему моноид - это частный случай кольца, но, ох, не уверена, надо посмотреть), у которого действительно две операции).

[Dan_Te]

"Умножение" (групповая операция, если быть более точным) в определении группы - это любая ассоциативная операция. Например, обычное умножение чисел, умножение матриц, сложение чисел, сложение матриц, композиция отображений, и т.п. В данном случае роль "умножения" в N_0 играет сложение чисел.

[Capella]

Dan_Te писал(а):

Умножение = групповая операция

А, так теперь понятно

[lofar]

Сам знак операции не важен. Можно использовать знак $*$, тогда, к примеру, закон ассоциативности будет выглядеть так $\forall x,y,z\in M\colon x*(y*z) = (x*y)*z$. Иногда еще используют значек $\circ$.

С точки зрения алгебры знак опереации несущественен, важны лишь соотношения между элементами. Например, На множестве вещественных чисел можно ввести операцию $\star$положив $x\star y = \sin(x+y)\sqrt{|x-y|}+1234\pi$. Алгебраиста может интересовать вопрос о коммутативности, ассоциативности этой операции, но не вопрос о количестве угов у значка $\star$.

[Capella]

Понимаете, когда Вы ввели операцию "умножения" у меня естественно возникли ассоциации с конкретной операцией. Поэтому отсюда и возник вопрос. Кстати, моноид, похоже всё равно не соотвествует формулировке вопроса, т.к. вопрос звучал: выполняются ли все вышеперечисленные требования, в том числе это: $ a * a^{-1} = e $, а получить инвеpсионный элемент относительно операции сложения в $ \mathbb N_0 $ похоже не удастся, отсюда не выполнено одно из условий задачи.

добавленно
Моноид это полугруппа

[lofar]

Насколько я понял под "вышеперечисленнными требованиями" подразумевалось следующее
1) ассоциативность
2) существование двусторонней единицы
3) условие $\forall x\in M\:\exists y,z\in M\colon x=yz$.
Все это верно для моноидов (и только для них).
Единица $e$ может быть представлена в виде произведения так $e=ee$.


Моноид это полугруппа с единицей


Впрочем, может быть я чего-то не понимаю...